经济数学基础课后答案概率统计第三分册(编辑修改稿)

经济数学基础课后答案概率统计第三分册(编辑修改稿)内容摘要：

布 . 解 X 的取值仍是 0, 1, 1/4，取到非优质品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有   169430 2 XP   16643411 12  CXP   161412 2 XP 17 4. 第 2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X 的概率分布 . 解 X 可以取 1, 2, … 可列个值 . 且事件 {X = n}表示抽取 n 次，前 n－ 1 次均未取到优质品且第 n 次取到优质品，其概率为4143 1 n. 因此 X 的概率分布为     ,2,14341 1 nnXP n 5. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球， 3 个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布 . (1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值 .     4491191232431  XPXP   2 2 091091121233 XP   2201991011121234 XP (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值 .     4310  XPYP     44921  XPYP     2 2 0932  XPYP     2 2 0143  XPYP 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出 3 个，求取到的新球数目 X 的概率分布 . 18 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值 .   2 2 010 31233  CCXP   2 2 0271 312 2319  CCCXP   2202082 312 1329  C CCXP   2 2 0843 31239  CCXP 7. 已知 P{X＝ n}＝ pn， n＝ 1, 2, 3, … , 求 p 的值 . 解 根据   1 1n nXP ＝, 有   1 11 n n ppP 解上面关于 p 的方程，得 p＝ . 8. 已知 P{X＝ n}=pn， n＝ 2, 4, 6, … ， 求 p 的值 . 解 11 22642  ppppp 解方程，得 p= 2 /2 9. 已知 P{X＝ n}=, n=1, 2, … , 100, 求 c 的值 . 解  1001 5050)10021(1 n cc ＝ 解得 c＝ 1/5050 . 10. 如果 pn＝ ＿ 2， n=1, 2, … , 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么 ? 解 ,11 21  nn n ncp由于级数 1 21n n收敛 , 若记 1 21n n=a,只要取ac 1 , 则有 1n np =1, 且 pn＞ 0. 所以它可以是一个离散型概率分布 . 11. 随机变量 X 只取 1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大 19 于零且不相等并又组成等差数列，求 X 的概率分布 . 解 设 P{X＝ 2}＝ a， P{X＝ 1}＝ a－ d, P{X=3}=a+d. 由概率函数的和为 1，可知 a=31, 但是 a－ d 与 a+d 均需大于零 , 因此｜ d｜＜31, X 的概率分布为 X 1 2 3 P 31 － d 31 31 +d 其中 d 应满足条件： 0＜｜ d｜＜31 12. 已知    e!mcλmXP m,m =1, 2, … , 且 λ＞ 0, 求常数 c. 解      11 e!1 mmm mcmXp  由于    10 e!1! mmmm mm  , 所以有   1 1)e1(e)1e(e!m m ccmc  解得  e1 1c 13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为 及 ，求： (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布； (2)甲投篮次数 X 的概率分布； (3)乙投篮次数 Y 的概率分布 . 解 设事件 Ai表示在第 i 次投篮中甲投中， j 表示在第 j 次投篮中乙投中， i=1, 3, 5, „ , j=2, 4, 6,„ ,且 A1, B2, A3, B4， „ 相互独立 . (1)    1222321112  kkk ABABApkZP   ( ) 1k 20 = () 1k k=1, 2, „   )(2 212223211 kkkk BABABApkZP    ( ) 1k = k=1, 2, „ (2)    12223211  nnn ABABApnXP   nnnn BABABAp 212223211   )()( 1  n ,2, 1   nn (3)   )(0 1  APYP      122121121211   nnnnn ABABAPBABAPnYP  )()( 1  n ，2, 1   nn 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为 ，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为 ，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目 X 的概率分布 (不计其他因素停车 ). 解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X＝ 0 } ＝ P { X＝ 1 }＝ ＝ P { X＝ 2 } ＝ 0 .4＝ P { X＝ 3 } ＝ 0 .4＝ P { X＝ 4 } ＝ ＝ 15.   .,0 ],[,s in)( 其他 ，baxxxf 问 f(x)是 否为一个概率密度函数，为什么 ?如果 (1) .π23 ,)3(。 π,0)2(。 2π,0  bababa π 解 在［ 0, 2π ］与［ 0, π］上， sinx≥ 0,但是 ,1dsinπ0  xx 21 ,1dsin2π0  xx 而在  π23,π 上 ,sinx ≤ (1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数 . 16. .0,00e)( ,22xxcxxf cx ，＞ 其中 c＞ 0，问 f(x)是否为密度函数，为什么 ? 解 易见对任何 x∈ (－ ∞ , ＋ ∞) , f ( x ) ≥ 0，又 1de 20 2   xcx cx f(x)是一个密度函数 . 17.   .0 .2＜＜,2)( 其他， axaxxf 问 f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a的值；若不是，说明理由 . 解 如果 f ( x )是密度函数，则 f ( x )≥ 0，因此 a≥ 0，但是，当 a≥ 0 时， 444|d2 222    axx aaaa 由于 xxf d)(不是 1，因此 f ( x )不是密度函数 . 18. 设随机变量 X～ f ( x )  .,0,)1(π 2)( 2其他＜＜ xaxxf 确定常数 a 的值 ， 如果 P { a ＜ x ＜ b } ＝ ， 求 b的值 . 解 )a rc t a n2π(2a rc t a nπ2d)1(π 2 2 axxx aa    解方程 π2  aarctan－ 2π=1 22 得 a = 0   bxxxfbxP bb a rc t a nπ2|a rc t a nπ2d)(0 00 ＜＜ 解关于 b 的方程： π2arctanb= 得 b=1. 19. 某种电子元件的寿命 X 是随机变量，概率密度为  .100,0,100100)( 2＜xxxxf 3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了150 小时后仍能使线路 正常工作的概率 . 解 串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作 . 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示 “ 线路正常工作 ” ，则 3])150([)( ＞XPAP    32d1 0 01 5 0 215 0   xxXP ＝＞ 278)( AP 20. 设随机变量 X～ f ( x )， f ( x )＝ Ae－ |x|， 确定系数 A； 计算P { |X | ≤ 1 }. 解 AxAxA xx 2de2de10||     解得 A＝ 21      10||11 dede211|| xxXP xx 1   21. 设随机变量 Y 服从［ 0, 5］上的均匀分布，求关于 x的二次方程 4x2＋ 4xY+Y+2=0 有实数根的概率 . 解 4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是 23 △ ＝ b2－ 4ac =16Y2－ 16(Y+2)=16Y2－ 16Y－ 32≥ 0 设事件 P(A)为所求概率 .则      120321616)( 2  YPYPYYPAP = 22. 设随机变量 X ～ f ( x )，  .,01||,1)( 2其他，＜xxcxf 确定常数 c，计算 .21||  XP 解 π|a rc s i nd11 1 121 1 cxcxxc   c =π1 31a rc s i n2d1 121|| 0212121 2    xxxXP 23. 设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为 .1,1,10,0,0)(xxxAxxF ＜＜，＜ 确定系数 A，计算    XP ，求概率密度 f ( x ). 解 连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数， F (1)＝ F (1－ 0)，有 A＝ 1. .,0,10,2 1)(其他＜＜ xxxf   )0()(  FFXP 24 24. 求第 20 题中 X 的分布函数 F ( x ) . 解   txXPxF tx de21)( || 当 t ≤ 0 时， xtx txF e21de21)(   当 t＞ 0 时， tttxF txttx de21de21de21)( 00||   xx   e211)e1(2121 25. 函数 (1+x2)－ 1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么 ? 解 不能是分布函数，因 F (－ ∞)＝ 1 ≠ 0. 26. 随机变量 X～ f ( x )，并且)1(π)( 2xaxf ,确定 a的值 ；求分布函数 F ( x )；计算  1|| ＜XP . 解 axaxxa     a rc t a nπd)1(π1 2 因此 a =1 xx tttxF    a rc t a nπ1d)1(π 1)( 2 xarctanπ121        10 21 1 2 d)1(π 12d)1(π 11|| xxxxXP ＜ 21arctanπ2 10  x 27. 随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： .2,02,1)( 2xxxAxF ，＞ 25 确定常数 A 的值，计算  40  XP . 解 由 F ( 2＋ 0 )＝ F ( 2 )，可得 4,041  AA     )0()4。