复变函数与积分变换孤立奇点(编辑修改稿)

复变函数与积分变换孤立奇点(编辑修改稿)内容摘要：

) ( ) ( ) .nC C C Cf z z f z d z f z d z f z d z      121 ( ) d Re s [ ( ) , ] Re s [ ( ) , ] Re s [ ( ) , ]2 π nC f z z f z z f z z f z zi    1( ) d 2 π R e s[ ( ) , ] .nkkCf z z i f z z 即注意检查定理中的条件要满足。 例如     2 11lnz dzz求积分不能应用留数定理。 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 求函数在孤立奇点 z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中 (zz0)1 项的系数 c1 即可 . 但如果知道奇点的类型 , 对求留数会更有利 . 如果 z0是 f (z)的可去奇点 , 则 Res[f(z),z0]=0 . 如果 z0 是本性奇点 , 则只好将其 展开成 洛朗级数 . 如果 z0 是极点 , 则有如下规则 : 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换3. (极点 )留数的计算规则 000R e s[ ( ) , ] l im ( ) ( )zzf z z z z f z0100 11Re s [ ( ) , ] l im [ ( ) ( ) ]( 1 ) !mmmzzdf z z z z f zm d z规则 2 如果 z0为 f(z)的 m级极点 , 则 事实上 , 由于 f(z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+c1(zz0)+..., (zz0)m f(z)=cm+cm +1(zz0)+...+c1(zz0)m1+c0(zz0)m+..., 规则 1 如果 z0为 f (z)的一级极点 , 则 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换10 1 0 01 { ( ) ( ) } ( 1 ) ! ( 1 ) 3 2 ( )mmmd z z f z m c c m m z zdz        令 zz0,右端的极限是 (m1)!c1,两端除以 (m1)! 就是 Res[f(z),z0],即得 规则 2,当 m=1时就是 规则 1。 规则 3 设    ()f z P z Q z , P ( z ) 及 Q ( z ) 在 z 0 都解析 , 如果 P ( z 0 )  0, Q ( z 0 )=0, Q 39。 ( z 0 )  0, 则 z 0 为 f ( z ) 的一级极点 , 而    0 0 0R e s [ ( ), ]f z z P z Q z . 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换事实上 , 因为 Q ( z 0 )= 0 及 Q39。 ( z 0 )  0 , 所以 z 0 为 Q ( z ) 的一级零点 , 从而 z 0 为  1 Qz 的一级极点 . 因此 011( ) ,()zQ z z z 其中  ( z ) 在 z 0 解析 , 且  ( z 0 )  0 . 故 z 0 为 f ( z ) 的一级极点 . 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换由 规则 1,000R es [ ( ), ] l i m ( ) ( )zzf z z z z f z , 而 Q ( z 0 )= 0 . 所以   00000 00()l i m ( ) ( ) l i m( ) ( )z z z zPzPzz z f zQ z Q z Qzzz   , 即得 规则 3。 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换例 1 计算积分 21zCze dzz , C 为正向圆周 | z |= 2. 解 ： 由于2()1zzefzz有两个一级极点 1,  1, 而这两个极点都在圆周 | z |=2 内 , 所以 22 { R e s[ ( ) , 1 ] R e s[ ( ) , 1 ] }1zCzedz i f z f zz   , 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换由规则 1, 得 211e e eRe s[ ( ) ,1 ] l im ( 1 ) l im1 1 2zzzzzzf z zzz   1211e e eRe s[ ( ) , 1 ] l im ( 1 ) l im .1 1 2zz。