数学分析数列极限收敛数列的性质(编辑修改稿)

数学分析数列极限收敛数列的性质(编辑修改稿)内容摘要：

.n nn a 敛性 , 证得 返回 后页 前页 例 6 l i m ( 1 ) .1nnna aa 求 极 限解 ( 1 ) | | 1 ,a  li m 0 ,nn a 因 为所以由极限四则 运算法则 , 得 liml i m 0 .1 1 l i mnnnnnnnaaaa( 2 ) 1 ,a  11l i m l i m .221nnnnaa   ( 3 ) | | 1 ,a  li m ( 1 ) 0 ,nn a 因故得 1l i m l i m1 1 1nnnnnaaa   11.1 l i m ( 1 )nna返回 后页 前页 例 7 12, , , ma a a设 为 m 个正数 , 证明 1 2 1 2lim m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a    12 ,n nn n nma a a a m a    证 12m a x { , , , } .ma a a a设 由 li m li m ,nnnm a a a   以及极限的迫敛性 , 可得 1 2 1 2lim m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a a     返回 后页 前页 定义 1 +{ } , { } N ,nkan设 为 数 列 为 的 无 限 子 集 且12 ,kn n n   则 数 列12, , , ,kn n na a a{ } , { }.knnaa称 为 的 子 列 简 记 为注 , { } { } { },kn n na a a由 定 义 的 子 列 的 各 项 均 选 自{ } { }knnaa且 保 持 这 些 项 在 中 的 先 后 次 序 . 中 的 第{ } , .n k kk a n n k项 是 中 的 第 项 故 总 有返回 后页 前页 定理 { } , { }nna a a若 数 列 收 敛 到 则 的 任 意 子 列{ } .knaa也 收 敛 到证        li m . 0, , , .n a a N n N a a设 则 当{ } { } . ,kn n ka a n k设 是 的 任 意 一 个 子 列 由 于 因 此, , .kknk N n k N a a     时 亦 有 这 就 证 明 了l i m .knk aa 注 2 . 8由 定 理 可 知 , 若 一 个 数 列 的 两 个 子 列 收 敛于 不 同 的 值 , 则 此 数 列 必 发 散 .返回 后页 前页 例 8 lim nn aa 求 证 的 充 要 条 件 是.limlim 212 aaa nnnn  证 (必要性 ) l i m 0, , ,nn a a N n N     设 ， 则 时.||  aa n所以因为 ,12,2 NnNn ， || 12 aa n .|| 2  aa n2 1 2( ) l i m l i m , 0, ,kkkk a a a N       充 分 性 设 则kN当 时 ，返回 后页 前页 12 k | a a |  ，2k| a | . 2 ,N K n N令 当 时 , 则 有| | ,naa l i m .nn aa 所 以返回 后页 前页 例 9 1( 1 ) ( 1 ) . { } .nnnaa n若 = 证 明 数 列 发 散解 显 然21lim lim ( 1 ) 1 .2kkka k     因此 , { } .na数 列 发 散211lim lim ( 1 ) 1。 21kkka k       返回 后页 前页。 5的证法 ,证明： {} na若 为 正 有 界 数 列 ， 则12lim sup { } .n n n nnnn a a a a    复习思考题 返回 后页 前页 学过数列极限概念后，自然会产生两个 167。 3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题 , 介绍两个重要定理 . 二、柯西收敛准则 理论中占有非常重要的地位 . 极限 ? 其中 , 判断数列是否收敛 , 这在极限 即极限的存在性问题。 二是如何计算数列的 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的 ? 返回返回 后页 前页 一、单调有界定理 定理 单调有界数列必有极限 . 证 该命题的几何意义是十分明显的 . }{ na不妨设 单调增，有上界 . 由确界定理，存在 s u p { } .na 由上确界的定义，对于任意的 ,0使 存在 0,na0 .na  0 ( ) ,n n N故当 时 ( ) x0na)( 0nna n 返回 后页 前页。