数学分析之数项级数(编辑修改稿)

数学分析之数项级数(编辑修改稿)内容摘要：

l i m 1 ,1nnn 根据比较原则的极限 1n  1sin n形式以及调和级数 发散 , 得到级数 也发 散 . 例 5 证明级数  1 )1(1n nn是发散的 . 证 ,11)1( 1  nnn ,111 n n发散而级数.)1( 11 n nn发散级数推论 若  1nnu 收敛 ( 发散 ) 且 则  1nnv 收敛 ( 发散 ).比较审敛法的不便 : 须有参考级数 . 重要参考级数 : 几何级数 , P级数 , 调和级数 . ( ) ,n n n nv k u k u v二、比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的 , 但在使用时只要根据级数一般项本身的 特征就能作出判断 . 定理 (达朗贝尔判别法 , 或比式判别法 )设 nu为正项级数 , 且存在某正整数 0 ( 0 1 ).N q q及常数 0( i ) ,nN若对一切 成立不等式1 , ( 5 )nnu qu 则级数 nu 收敛 .  0( ii ) ,nN若对一切 成立不等式1 1 , ( 6 )nnuu .nu则级数 发散证 ( i ) ( 5 ) 1n不妨设不等式 对一切 成立, 于是有  321 2 1, , , , .nnuuu q q qu u u把前 n1个不等式按项相乘后 ,得到 1321 2 1nnnuuu qu u u    11 .nnu u q或者由于当 0 q 1时 ,  11,nnq等比级数 收敛根据比较 原 则及上述不等式可得 .nu级数 收敛推论 1(比式判别法的极限形式 ) 若 nu 为正项级 数，且 1l i m , ( 7 )nn nu qu则 ( i ) 1 ,。 nqu 当 时 级数 收敛( i i ) 1 , .nq q u    当 或 时 级数 发散证 由 (7)式 , 对任意取定的正数 ( 1 ) ,q 存在正数 N,当 n N 时 , 有    1 .nnuqqu1 , 1 ,  当 时 根据 的取法, 有由上述不等 式 的右半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数 nu是收敛的 . 1 , 1 ,qq   若 则有 根据上述不等式的左半部分 及比式判别法的 (ii), 可得级数 nu 是发散的 .    ,q N n N若 则存在 当 时有 1 1,nnuu.nu所以这时级数 是发散的例 6 级数 2 2 5 2 5 8 2 5 8 [ 2 3 ( 1 ) ] ,1 1 5 1 5 9 1 5 9 [ 1 4 ( 1 ) ]nn                由于      1 2 3 3l i m l i m 1 ,1 4 4nnn nu nun根据推论 1，级数收敛 . 例 7 讨论级数 1 ( 0 )nn x x  的敛散性 . 解 因为 11( 1 ) 1 ( ) ,nnnnu n x nx x nu n x n     根据推论 1,当 0 x 1时级数收敛。 当 x1时级数发 n散。 而当 x = 1时 , 所考察的级数是 , 它显然也是 发散的 . 性作出判断 . 例如级数 211 ,nn和它们的比式极     1211 ( ) ,nnu nun限都是 但 收敛,  1n而 却是发散的 . 若某级数的 (7)式的极限不存在 ,则可应用 上、下极 限 来判别收敛性 . 若 (7)中 q = 1,这时用比式判别法不能对级数的敛散 定理 (柯西判别法 , 或根式判别法 ) 设 nu 为正 项级数 , 且存在某正数 0 ,Nl及常数 0( i ) ,nN若对一切 成立不等式1 , ( 9 )n nul 。 nu则级数 收敛 0( ii ) ,nN若对一切 成立不等式1 , ( 10 )n nu .nu则级数 发散于情形 (ii), 由 (10)式可得 1 1 .nnu  , nnu显然当 时不可能以零为极限 , 因而由级数 收敛的必要条件可知 , 级数 nu 是发散的 . 证 由 (9)式有 ,nnul 因为等比级数 11nll当 ,时 收 敛 故由比较原则 , 这时级数 nu 也收敛 , 对 li m , ( 11 )n nn ul ( i ) 1 ,。 nlu 当 时 级数 收敛( i i ) 1 , .n 当 时 级数 发散则 证 由 (11)式 , 1,l当取 时存在某正数 N,对一切 n N, 有 .n nl u l   于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论 . 推论 1(根式判别法的极限形式 ) 设 nu 为正项级 数 ,且 若 (11)式的极限不存在 , 则可根据根式 n nu 的上极限 来判断 . 例 8 研究级数  2 ( 1 )2nn的敛散性 . 解 由于 2 ( 1 ) 1l i m l i m ,22n nnnnn u   所以级数是收敛的 . 若在 (11)式中 l =1,则根式判别法仍无法对级数的敛 散性做出判断 . 例如 211 ,nn对和 都有 2111 ( ) , ,nnun nn   但 是 收 敛 的 而 却 是发散的 . 例 9 判别下列级数的收敛性 : (1)  1 !1n n。 (2)  1 10!nnn。 (3)  1 2)12(1n nn. 解 )1(!1)!(11nnuunn 11 n ),(0  n.!11收敛故级数 n n),(  n)2( !1010)!1(11nnuu nnnn 101 n.10 !1发散故级数 nnn)3( )22()12(2)12(limlim 1 nnnnuunnnn ,1比值审敛法失效 , 改用比较审敛法 . ,12)12( 1 2nnn  ,112 收敛级数 n n.)12(2 11收敛故级数  n nn例 10 判别下列级数的敛散性： 21( ! )( i )。 ( 2 ) !nnn21( i i ) .12nnnn 解 (i) 因为 212[ ( 1 ) ! ] ( 2 ) !l i m l i m[ 2 ( 1 ) ]! ( ! )nnn nu nnun n   2( 1 ) 1l i m 1 ,( 2 1 ) ( 2 2 ) 4nnnn  由比式判别法，原级数为收敛 . 1 1,222l i m l i m l i m11 22nnnn nn n nnnnunn      (ii) 因为 由根式判别法 , 原级数为收敛 . 注 由于极限 2( ! )lim( 2 ) !nnnn 很难求 , 所以上例中的 (i) 不采用根式法 . 三、积分判别法 由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数 ,局 限性较大 , 所以还需要建立一些更有效的判别法 . 定理 (积分判别法 )设 [1 , )f 为 上非负减函数 , 那么正项级数 +1( ) ( ) df n f x x与反常积分  同时 收敛或同时发散 . 证 由假设 [1 , )f 为 上非负减函数 , 对任何正数 A, f 在 [1, A]上可积 ,于是     1( ) ( ) d ( 1 ) , 2, 3, .nnf n f x x f n n依次相加可得 112 2 1( ) ( ) d ( 1 ) ( ). ( 12 )m m mmn n nf n f x x f n f n       若反常积分收敛 ,则由 (12)式左边 ,对任何正整数 m, 有 111 ( ) ( 1 ) ( ) d ( 1 ) ( ) d .m mmnS f n f f x x f f x x     根据定理 , 级数 ()fn 收敛 . 反之 , 若 ()fn 为收敛级数 , 则由 (12)式右边 , 对任 一正整数 m(1)有    11 ( ) d ( ) . ( 1 3 )mmf x x S f n S10 ( ) d , 1.Anf x x S S n A n      +111 .2 ( ) d .f x x根据定理 得反常积分 收敛因为 f (x)为非负减函数 , 故对任何正数 A, 都有 用同样方法 ,可以证明 +1( ) ( ) df n f x x与  是同时 发散的 . 例 11 讨论 1 .pp n级数 的敛散性1( ) , 0 [ 1 , )pf x px 当 时在   解 函数 上是非负减函   +1d 11px ppx数, 反常积分 在 时收敛, 时发散. 故1 1 , 0 1p ppn由积分判别法得 当 时收敛 当   0p时发散 . 至于 的情形 , 则可由收敛的必要条件 知它也是发散的 . 另解 讨论 P 级数  pppp n14131211 的收敛性 . )0( p 解 ,1p设 ,11 nn p  .级数发散则 P,1p设oyx)1(1  pxy p1 2 3 4由图可知   nn pp xdxn 11pppn ns13211    nn pp xdxxdx 1211  n pxdx11 )11(111 1 pnp 111  p,有界即 ns .级数收敛则 P例 12 讨论下列级数 2311( i )。 ( i i ) .( l n ) ( l n ) ( l n l n )ppnnn n n n n的敛散性 . 解 2 d ,( l n ) pxxx研究反常积分 由于 +2 2 ln 2d d ( l n ) d( l n ) ( l n )p p px x ux x x u     1 , 1pp当 时收敛 时发散, 根据积分判别法得级( i ) 1 , 1 .pp数 在 时收敛 时发散3( i i ) , ,( l n )。