数学分析函数极限存在的条件(编辑修改稿)

数学分析函数极限存在的条件(编辑修改稿)内容摘要：

对于单调函数 , 归结原则的条件就要简单得多 . 例 3 )(l i m),()(00 xfxUxf xx  则上单调，在设 存在的充要条件是存在一个数列 返回 后页 前页 ,)(}{ 0,0 xxxUx nn   .)(l i m 存在使 nn xf证 必要性可直接由归结原则得出 , 下面证明充分 ,)(}{ 039。 ,0 xxxUx nn   设 .)(l i m Axf nn .)(   AxfA n对于任意 ),( 00 xxxUx N   ).()( xffA N  ,0 N 故 当 时 , 有 Nn 假设 )(xf 递减． 性 . 返回 后页 前页 ,0 xxx n 又因为 ),(1 NN 所以 ,1 xx N 使因此从而 .)()( 1  Axfxf N.)(   AxfA.)(lim0Axfxx 即 ))(xfy xNx1Nx x0xOyAAA返回 后页 前页 三、柯西收敛准则 的柯西收敛准则 , 请读者自 这里 仅给出 )(lim xfx 有定义 , 则极限 )(lim xfx 存在的充要条件是 : 任 ),(,0 MX  存在给  均有对于任意 , 21 Xxx .|)()(| 21  xfxf定理 设 f (x) 在  的某个邻域 }|{ Mxx 上 明之 . 行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证 返回 后页 前页 ),( MX 存在 对一切 x X， .2|)(|  Axf有所以对一切 , 21 Xxx 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | .f x f x f x A f x A      证（必要性） ,)(l i m Axfx 设则对于任意 ,0(充分性 )   对一切，存在对任意的 ,0 MX 有, 21 Xxx     .21  xfxf返回 后页 前页 ，则存在任取 Nxx nn ,}{ ,时当 Nn .)()(  mn xfxf   ., 因此收敛是柯西列这就是说 nxf使若存在 ,},{,}{  nnnn yxyx.)}({ 发散，矛盾但 nzf,)(,)( ABByfAxf nn   1 1 2 2, , , , ,n n nz x y x y x y则 令 为 ， ， ，.nz显然故, Mxx mn  ,. 时又当 NmnXx n 返回 后页 前页 这样就证明了对于任意的 ,},{。