数学分析之多元函数的极限与连续(编辑修改稿)

数学分析之多元函数的极限与连续(编辑修改稿)内容摘要：

| .   .y f x0x  0x 167。 2 二元函数的极限 与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础 . 但因自变量个数 的增多 , 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式 , 而累次极限是一元函数情 形下所不 会出现的 . 一、二元函数的极限 f 2RD  0P定义 1 设二元函数 定义在 上 , 为 D 的 一个聚点 , A 是一实数 . 若 0 , 0 ,    使得当 0(。 )P U P D 时 , 都有 | ( ) | ,f P A 0l i m ( ) .PPPDf P A在对 PD 不致产生误解时 , 也可简单地写作 f 0PP则称 在 D 上当 时以 A 为极限 , 记作 0li m ( ) .PP f P A 0P 00( , ) , ( , )x y x y当 P, 分别用坐标 表示时 , 上式也 常写作 00( , ) ( , )li m ( , ) .x y x y f x y A 例 1 依定义验证 22( , ) ( 2 , 1 )li m ( ) x x y y   证 因为 22 7x xy y   22( 4 ) 2 ( 1 )x xy y     | ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) |x x x y y y y         | 2 | | 2 | | 1 | | 3 | .x x y y y      不妨先限制在点 (2, 1)的方邻域  ( , ) | 2 | 1 , | 1 | 1x y x y   内来讨论 , 于是有 | 3 | | 1 4 | | 1 | 4 5 ,y y y       | 2 | | ( 2 ) ( 1 ) 5 |x y x y      | 2 | | 1 | 5 7 .xy     22 7 7 | 2 | 5 | 1 |x x y y x y      7 ( | 2 | | 1 | ) .xy   0 , min ( 1 , ) ,14  取| 2 | , | 1 |xy    当 ( , ) ( 2 , 1 )xy 且 时 , 就有 22 7 7 2 14 .x xy y         这就证得 22( , ) ( 2 , 1 )li m ( ) x x y y   所以 例 2 设 2222( , ) ( 0, 0 ) ,( , )0, ( , ) ( 0, 0 ) ,xyxy x yf x y xyxy，   证明 ( , ) ( 0 , 0 )li m ( , ) f x y 证 (证法一 ) 0, 由2 2 2 2 2 22 2 2 20 2x y x y x yxyx y x y  2 2 2 211 ( ) ,22x y x y   可知 222 , 0 ,xy      当 时 便有2222 0,xyxyxy  故 ( , ) ( 0 , 0 )li m ( , ) f x y 注意 不要把上面的估计式错写成： 2 2 2 2222210 ( ) ,22x y x yx y x y x yx y x y   ( , ) ( 0 , 0 )xy  ( , ) ( 0 , 0 ) ,xy 因为 的过程只要求 即 22 0,xy 而并不要求 (证法二 ) 作极坐标变换 c o s , s in .x r y r这时 2222| ( , ) 0 |xyf x y x yxy2211| sin 4 | ,44rr( , ) ( 0 , 0 )xy  0r 等价于 ( 对任何 ). 由于 因此， 220, 2 ,r x y       只须对任何 都有 2( , ) ( 0 , 0 )1| ( , ) 0 | , lim ( , ) 0 .4 xyf x y r f x y    即下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结 原则 (而且证明方法也相类似 ). 定理 0l i m ( )PPPDf P A的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚点 ,就有 0P0l i m ( ) .PPPEf P A1ED01lim ( )PPPEfP推论 1 若 , P0 是 E1 的聚点 , 使 不存在 , 则 0lim ( )PPPDfP 也不存在． 001212l i m ( ) l i m ( )P P P PP E P Ef P A f P A与1 2 0,E E D P推论 2 若 是它们的聚点，使得 12AA0l i m ( )PPPDfP都存在，但 , 则 不存在． 推论 3 极限 0l i m ( )PPPDfP存在的充要条件是： D 中任 一满足条件 00l i m { } ,n n nnP P P P P且 点列的 它所 对应的函数列 { ( ) }nfP都收敛． 下面三个例子是它们的应用． 22( , )xyf x yxy ( , ) ( 0 , 0 )xy 例 3 讨论 当 时是 否 存在极限． ( 注 : 本题结论很重要 , 以后常会用到 . ) 解 当动点 (x, y) 沿着直线 而趋于定点 (0, 0) y m x时，由于 2( , ) ( , ) 1mf x y f x m xm , 因此有 2( , ) ( 0 , 0 ) 0li m ( , ) li m ( , ) .1x y xy m xmf x y f x m xm这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时 , 对应 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在． 确定极限 不存在 的方法： （ 1 ） 令 ),( yxP 沿 kxy  趋向于 ),( 000 yxP ，若极限值与 k 有关，则可断言极限不存在； （ 2 ） 找两种不同趋近方式，使 ),(l i m00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言 ),( yxf 在点),( 000 yxP 处极限不存在． 21 0 ,( , )0y x xf x y         ， ,， 其 余 部 分 .4例 设如图 1615 所示 , 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时 , 相应的 ( , )f x y都趋于 0, 但这并不表明此函数在 ( , ) ( 0 , 0 )xy 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线 2 ( 0 1 )y k x k  ( , )f x y 趋于点 O 时 , 将趋于 1. 所 以极限 ( , ) ( 0 , 0 )li m ( , )xy f x y 不存在 . ( , ) xyf x y xy ( , ) ( 0 , 0 )xy 例 5 讨论 在 时不 存在极限． 解 利用定理 的推论 2, 需要找出两条路径 , 沿 着 此二路径而使 ( , ) ( 0 , 0 )xy  时 , 得到两个相异 的极限． 第一条路径简单地取 ,yx 此时有 2( , ) ( 0 , 0 ) 0()li m li m 0.2x y xyxx y xx y x第二条路径可考虑能使 ( , ) xyf x y xy 的分子与 分母化为同阶的无穷小 , 导致极限不为 0. 按此思路 的一种有效选择 , 是取 2 .y x x此时得到 222( , ) ( 0 , 0 ) 0 0()()l i m l i m l i m ( 1 ) 1 ,x y x xy x xx y x x x xxy x      这就达到了预期的目的． ( 非正常极限 ) 的定义． 定义 2 设 D 为二元函数 f 的定义域， 0 0 0( , )P x y是 D 的一个聚点 . 若 0 , 0 ,M    使得 0( , ) (。 ) , ( , ) ,P x y U P D f x y M  都有0PP 则称 f 在 D 上当 时 , 有 非正常极限 , 记 作 00( , ) ( , )l i m ( , ) ,x y x y f x y   ( , )f x y   下面再给出当 时 , 0 0 0( , ) ( , )P x y P x y或 0l i m ( ) .PP fP   仿此可类似地定义： 00li m ( ) li m ( ) .P P P Pf P f P     与例 6 设 221( , ) 23f x y xy . 证明 ( , ) ( 0 ,0 )li m ( , ) .xy f x y   证 此函数的图象见图 16 16. 2 2 2 22 3 4 ( )x y x y  0,M因 , 故对 只需取 2211,022 xyMM    当 时，就有2222112 3 , .23x y MM x y  即这就证得结果． 二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿 , 特 同 , 这里不再一一叙述 . ( , )f x y ()fP看作点函数 别把 时 , 相应的证法也相 二、累次极限 是以任何方式趋于 这种极限也称为 重 00( , ) ,xy 的极限 . 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序 , 相继趋 在上面讨论的 00( , ) ( , )l i m ( , )x y x y f x y 中 , 自变量 ( , )xy0x于 与 时 f 的极限 , 这种极限称为 累次极限 . 0y定义 3 ( , ) , ( , ) ,f x y x y D D x y设 在 轴、 轴上的投0 0 0, , . ( ) ,x y X Y y Y y y分别是 的聚点 若对每一个,XY影分别为 、 即{ | ( , ) } , { | ( , ) } ,X x x y D Y y x y D   0( ) l i m ( , )。 xxy f x y 如果进一步还存在极限 0l i m ( ) ,yyLy累次极限 , 记作 0()xx 0()yy则称此 L 为 先对 后对 的 ( , )f x y0l i m ( , )xx f x y ，它一般与 y 有关 , 记作 存在极限00l i m l i m ( , ) .y y x xL f x y类似地可以定义 先对 y 后对 x 的累次极限 : 00l i m l i m ( , ) .x x y yK f x y注 累次极限与重极限是两个不同的概念 , 两者之间 没有蕴涵关系 . 下面三个例子将说明这一点 . 22( , )xyf x yxy ( , )f x y例 7 设 . 由例 3 知道 当 ( , ) ( 0 , 0 )xy  0y时的重极限不存在 . 但当 时 , 有 220l i m 0,xxyxy 从而又有 2200l i m l i m xyxy 同理可得 这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等 . 2200l i m l i m。