数学分析之反常积分(编辑修改稿)

数学分析之反常积分(编辑修改稿)内容摘要：

x x g x x    收 敛 . 反 之 , 若 收 敛 可 得3 ( ) d ( ) d .2c g x x f x x   收 敛 , 从 而 收 敛()( i i ) l i m 0, , ,()xfx G a x Ggx     由 存 在 使 有( ) ( ) , [ , ) , ( ) daf x g x x G g x x    即 因 此 由 收 敛( ) d .a f x x可 推 得 收 敛() 1,()fxgx ()( i i i ) l i m , , ,()xfx G a x Ggx由 存在 使 有      ( ) ( ) , [ , ) , ( ) daf x g x x G g x x    即 因 此 由 发 散( ) d .a f x x可 推 得 发 散1( i ) ( ) ( 1 ) , ( ) dp af x p f x xx 若 则 收 敛。 推论 2 设 f 是定义在 上的非负函数 , 在任何 [ , )a [ , ]au有 限 区 间 上 可 积 .() 1,()fxgx )i( 1 , 0 , ( ) dap f x x      当 时 收 敛。 )ii( 1 , 0 , ( ) d .ap f x x      当 时 发 散l i m ( ) ,px x f x    若 则限区间 [a, u] 上可积 . 推论 3设 f 是定义在 上的非负函数 ,在任何有 [ , )a 1( ii ) ( ) ( 1 ) , ( ) d .p af x p f x xx 若 则 发 散说明 : 推论 3是推论 2的极限形式 . 例 4 讨论 1ln dkpx xx 的收敛性 ( k 0 ). 解 (i) ,1 时p12 lnlimp kpxxxx  12lnl i m 0.pkxxx   1ln px xx因 此 由 推 论 3 知 道 收 敛)ii( 1ln1 , l i m l i m l n .kpkpxxxp x x xx       时1ln px xx因 此 发 散若无穷积分 ( ) d , ( ) daaf x x f x x    收 敛 则 称以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性 . 三、一般函数无穷积分的判别法 何 有限区间 [a, u]上可积 , ( ) d , a f x x且 收 敛 则( ) da f x x 亦必收敛, 并且( ) d ( ) d .aaf x x f x x   定理 (绝对收敛的无穷积分必收敛 ) 若 f 在任 绝 对 收 敛 .210 , , ,G a u u G     当 时21( ) d ,uu f x x 因此 2211( ) d ( ) d .uuf x x f x x 再由柯西准则的充分性 , ( ) da f x x推 知 收 敛 .( ) d lim ( ) d ( ) d .ua a auf x x f x x f x x       又对任意 ( ) d ( ) d ,uuaaf x x f x x 于 是,ua证 ( ) d ,a f x x 收 敛由柯西准则的必要性 , 对 因 1si n d()x xx a x因 此 绝 对 收 敛 .收敛的无穷积分 ( ) da f x x 不一定是绝对收敛的 . ( ) d | ( ) | d ,aaf x x f x x   若 收 敛 而 发 散 则 称( ) da f x x 条 件 收 敛 .例 5 1si n d ( 0 )()x xax a x  的收敛性 . 判别 解 sin 1 ,()xx a x x x而3211 d xx 收 敛 ,由于 一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷 判 定理 (狄利克雷判别法） ( ) ( ) duaF u f x x 若0 ( ) ( ) d .a f x g x x单 调 趋 于 ， 则 收 敛[ , ) ( ) [ , )a g x a x      在 上 有 界 ， 在 上 当 时l i m ( ) 0 ,x gx  [ , ) , ( ) d . 0 ,uau a f x x M      设 由 于证 , , ( ) .4G a x G g x M  存 在 时故 别法和阿贝尔判别法判别其收敛性 . ,g因 为 单 调 函 数 由 积 分 第 二 中 值 定 理 对 任 意 的2211 12( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ,uuf x g x x g u f x x g u f x x   2 2 .44 MMMM     22( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x11( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x2112( ) ( ) d ( ) ( ) duug u f x x g u f x x  21( ) ( ) duu f x g x x2 1 1 2, [ , ] ,u u G u u   使得 于 是因此 , 由柯西准则， ( ) ( ) d .a f x g x x 收 敛 狄利克雷 Dirichlet,18051859德国数学家，解析数论的创始人之一。 著有 《 数论讲义 》 ,对 Gauss的 《 算术研究 》 作出了清楚的解释并有自己的独创。 他证明了在任何算术序列{a+nb}(其中 a与 b互素 )中 ,必存在无穷多个素数 ,这就是著名的 Dirichlet定理。 他在分析学和数学物理方面也有很多重大贡献。 在论文 “ 关于三角级数的收敛性 ” 中得到给定函数f(x)的 Fourier级数收敛的第一充分条件 .1829，他给出了具有典型意义的函数－ Dirichlet函数。 这一工作使得数学从研究函数的计算转变到研究函数的概念、性质和结构。 他在 1837年证明了：对一个绝对收敛级数，可以把它的项加以组合重新排列，而不改变原级数的和，并举例说明对一个条件收敛级数则不然。 他修改了 Gauss关于位函数论的一个原理，引入了所谓 Dirichlet原理。 还论述了著名的第一边值问题（现称为 Dirichlet问题）。 Dirichlet是 Gauss的学生和继承人。 柏林大学与哥廷根大学教授。 1831年被选为普鲁士科学院院士。 1855年被选为英国皇家学会会员。 他毕生敬仰 Gauss的讲课是一生所听过的最好、最难忘的课。 1855年， Gauss逝世后，他作为 Gauss的继承者被 哥廷 根大学聘为教授，接替 Gauss原任的职务，直到逝世。 狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以Gauss为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期。 狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与雅可比 (Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物。 1828年，狄利克雷来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院。 同年，他又被聘为柏林大学编外教授（后升为正式教授），开始了他在柏林长达 27年的教学与研究生涯。 由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，循循善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在 19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。 1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到 哥廷根 大学任教。 与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在 哥廷 根有更多自由支配的时间从事研究。 可惜美景不长， 1858年夏，他去瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病。 狄利克雷虽平安返回了 哥廷根 ，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于 1859年春与世长辞。 阿 贝 尔 （ Abel, 18021829） 阿贝尔是 19世纪挪威出现的最伟大数学家，一生在贫穷的环境中挣扎，他在生之日。