数学分析之函数极限(编辑修改稿)

数学分析之函数极限(编辑修改稿)内容摘要：

1 .44x xx      例 4 .)1(1lim0  aaxx求证有时当 ,Nn  ,1111   nn aa特别又有 .1111   NN aa,1N取 ,|0|0 时当  x,1111   NxN aaa.1l im 0 得证即  xx a证 ,11lim,1lim  nnnn aa因为 所以 ,0 N 作业 习题 7 一、归结原则 167。 3 函数极限存在的条件 三、柯西收敛准则 二、单调有界定理 一、归结原则 的充要条件是 : 对于在 内),( 0 xU  以 x0 为极限的 ,}{ nx任何数列 )(lim nn xf极限 都存在 , 并且相等 . 证 (必要性 ) 设 ,)(l i m0Axfxx  则对任给 存,0,0在 有时当 ,||0 0  xx定理 .),( 0 有定义在设 xUf 存在 )(lim0 xfxx .|)(|  Axf}{ nx设 ,),( 00 xxxU n  那么对上述 存在 ,有时当 , NnN ,||0 0  xx n所以 .|)(|  Axf n 这就证明了 .)(l i m Axf nn (充分性 )（下面的证法很有典型性，大家必须学 恒有 .)(l i m Axf nn 0)( xxxf 在若 时 , 不以 A 为极限 , 则存在正数 设任给 ),(}{ 0 xUx n  ,0xx n 会这种方法 .） .|)(| 0  Axf现分别取 ,2, 21  nn  存在相应的 ),(,, 21 nnn xUxxxx  使得 .,2,1,|)(| 0  nAxf n 对于任意正数 ),(, 0   xUx 存在 使得 ,0,||0 0 nxx nn  这与 Axf nn  )(l i m矛盾 , 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 ,),(}{},{ 000 xyxxxUyx nnnn  但是 ),(l i m)(l i m nnnn yfBAxf  )(l i m0xfxx 则 不存在 . .l i m 0xx nn ，不趋于时，但当 Axfn n )(.)(l i m0Axfxx 所以必有例 1 xxxx c o slim,1sinlim0 证明都不存在 . 解 11 0, 0 ,π2 π 2 π2nnxy nn   取 有,1s i nlim101s i nlimnnnn yx 故 xx1sinlim0 不存在 . π2 π , 2 π ,2nnx n y n      同理可取 有,c o slim01c o slim nnnn yx  故 xx c o slim不存在 . 密集的等幅振荡 , 当然不会趋于一个固定的值 . 为 了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原 则 ,我 们写出 时的归结原则如下：  0xx1 1 1 1 xyxy1s in 的图象在 x = 0 附近作无比 从几何上看， 义 , 则 定理 0)( xxf 在设 的某空心右邻域 )( 0xU  有定 作为一个例题 , 下面给出定理 的另一种形式 . 义 . Axfxx  )(lim 0那么的充要条件是任给严格递减 ,),(}{ 000 xxxUx nn   的 .)(l i m Axf nn 必有例 2 0)( xxf 在设 的某空心右邻域 ),( 0 xU  上有定 Axfxx  )(l i m000{ } ( ) , ,li m ( ) .nnnnx U x x xf x A   任给必有证 必要性应该是显然的 . 下面我们证明充分性 . ,0 时假若  xx f(x) 不以 A 为极限 . 则存在正数。 |)(|,0, 0110111   Axfxxx取},2m i n{ 012 xx  。 |)(|,0, 022022   Axfxxx},m i n{ 01 xxn nn  ,),( 0  xUx 存在 .|)(| 0  Axf使,0,0这样就得到一列严格递减的数列 ),(}{ 0 xUx n ,|)(|, 00  Axfxx nn 但这与条件矛盾 .。 |)(|,0, 00   Axfxxx nnnn二、单调有界定理 定理 设 f 为定义在 )( 0xU  上的单调有界函数 , 则右极限 .)(lim0存在xfxx 证 不妨设 f 在 .)( 0 递减xU  因为 f (x) 有界 , 故 使),( 0* xUx （能够写出关于 ,)(lim,)(lim0xfxf xxx  的单调有界定理 .） )(lim xfx )(s u p)( 0xfxUx 存在 , 设为 A .由确界定义 , 对于 ,0.)( * AxfA  ,0, 00* 时当令   xxxx由 f ( ) 的递减性 , .)()( *   AAxfxfA这就证明了 .)(l i m0Axfxx 对于单调函数 , 归结原则的条件就要简单得多 . 例 3 )(l i m),()(00 xfxUxf xx  则上单调，在设 存在的充要条件是存在一个数列 ,)(}{ 0,0 xxxUx nn   .)(l i m 存在使 nn xf证 必要性可直接由归结原则得出 , 下面证明充分 ,)(}{ 039。 ,0 xxxUx nn   设 .)(l i m Axf nn .)(   AxfA n对于任意 ),( 00 xxxUx N   ).()( xffA N  ,0 N 故 当 时 , 有 Nn 假设 )(xf 递减． 性 . ,0 xxx n 又因为 ),(1 NN 所以 ,1 xx N 使因此从而 .)()( 1  Axfxf N.)(   AxfA.)(lim0Axfxx 即 ))(xfy xNx1Nx x0xOyAAA三、柯西收敛准则 有定义 , 则极限 )(lim xfx 存在的充要条件是 : 任 ),(,0 MX  存在给  均有对于任意 , 21 Xxx .|)()(| 21  xfxf定理 设 f (x) 在  的某个邻域 }|{ Mxx 上 ),( MX 存在 对一切 x X， .2|)(|  Axf有所以对一切 , 21 Xxx 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | .f x f x f x A f x A      证（必要性） ,)(l i m Axfx 设则对于任意 ,0(充分性 )   对一切，存在对任意的 ,0 MX 有, 21 Xxx     .21  xfxf，则存在任取 Nxx nn ,}{ ,时当 Nn .)()(  mn xfxf   ., 因此收敛是柯西列这就是说 nxf使若存在 ,},{,}{  nnnn yxyx.)}({ 发散，矛盾但 nzf,)(,)( ABByfAxf nn   1 1 2 2, , , , ,n n nz x y x y x y则 令 为 ， ， ，.nz显然故, Mxx mn  ,. 时又当 NmnXx n 这样就证明了对于任意的 ,},{ nn xx)(lim nn xf 存在且相等 .由归结原则 , )(lim xfx 存在 . 虽然以及是： ,}{,}{,00 nn yx ，  nn yx    .0 nn yfxf但是 注 由柯西准则可知 , 不存在的充要条件 lim ( )x fx .1sinsin 0 nn yx但是 不这就说明 xx s i nlim ,s i n xy 对于 ,10 取例如 , π2 π ,2 π ,2nnx n y n  存在． 作业 习题 3 167。 4 两个重要的极限 0sinlim 1xxx 一、 二、 1l i m 1 exx x如图，单位圆中,A OCOA BA OB SSS   扇形x y o B C A x 1 1 0s inlim 1xxx 一、 时，故当 a n2121s i n21.,.  xxxxei时，；当有 02tans i n  xxxx .t a n)t a n(s i ns i n20 xxxxxx  ）（时，得有 . i n2 时成立等号仅当时，故当  xxxxx .21s i n2 xxx   时，又除之得用时且当 xxxxxx s i a ns i n,02  xxxc os1s i n1 or1s i nc os  x xx.1s i nl i m 0  xxx由此可得.1t a nl i m0 xxxπ0sin sinlim lim 1 .πxtxtxt  解  π , s in s in π s in ,t x x t t     令 所以 例 1 求 πsinlim .πxxx 例 2 .a r c ta nlim0 xxx 求.1c o sl i ms i nl i mt a nl i ma r c t a nl i m0000tttttx xtttx＝则令 ,t an,ar c t an txxt 解 .c o s1lim 20 xxx求例 3 解 2202s in2limxxx  .2120c o s1li mxxx2022s i n21lim xxxe11lim  xx x.e11l i m  xx x和证 我们只需证明：  。 ,2,1,1,111  nnxnnxfn设两个分段函数分别为 1l i m 1 exx x二、   .,2,1,1,111 nnxnnxgn显然有    .),1[,11   x。