数学分析之函数列与函数项级数(编辑修改稿)

数学分析之函数列与函数项级数(编辑修改稿)内容摘要：

存在着一个 只依赖于的自然数 N ，使得当 Nn  时，对区间 I 上的一切x，都有不等式 ( ) ( )ns x s x  成立，则 称 函数项级数  1)(nnxu 在区间 I 上 一致收敛 于和 )( xs ，也称函数序列 )( xsn在区间 I 上一致收敛于 )( xs ． 定义 只要 n 充分大 )( Nn  , 在区间 I 上所有曲线 )( xsyn将位于曲线  )( xsy 与  )( xsy 之间 . x y o I )( xsy )( xsy)( xsy )( xsy n几何意义： 研究级数 1 1 1 1 11 2 1 1x x x x n x n                    在区间 ),0[  上的一致收敛性 . 例 7 解 ,1)( nxxs n )0(01lim)(lim)( xnxxsxsnnn11( ) ( ) ( 0 )ns x s x xx n n      对于任给 0 ，取自然数 则当 Nn  时，对于区间 ],0[  上的一切 x ，根据定义， 所给级数在区间 ],0[  上一致收敛于 .0)( xs ( ) ( )ns x s x 1[ ],N例 8 研究级数    )()()( 1232 nn xxxxxxx在区间 ( 0 , 1]内的一致收敛性 . 解 该级数在区间 (0, 1) 内处处收敛于和 0)( xs ，但并 不一致收敛 ． 对于任意一个自然数 ,n 取 nnx 21 ，于是,21)(  nnnn xxs,0)( nxs但 1( ) ( ) .2n n ns x s x从 而 只要取21 ，不论 n 多么大，在 ( 0 , 1 ) 总存在点 nx ，因此级数在 ( 0, 1 )内不一致收敛． 说明 从下图可以看出 但 虽然函数序列 nn xxs )( 在 ( 0, 1 )内处处 ,0)( xs )(xsn 在 ( 0, 1 )内各点处收 收敛于 敛于零的“快慢”程度是不一致的． ( ) ( ) .n n ns x s x 使 得o xy (1,1) nn xxsy  )(1n2n4n 10n30n1 1 ( 0 , )bb注 意 ： 对 于 任 意 正 数 ， 这 级 数 在 上一 致 收 敛 ．注意 : 一致收敛性与所讨论的区间有关． 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数 列来确定 , 所以由函数列一致收敛的定理，可推出相应的有关函数项级数一致收敛的定理 . 定理 ( 一致收敛的柯西准则 ) 函数项级数 ()nux 在数集 D 上一致收敛的充要条件为 : 对任 , 存在正整数  N ,nN 时给的正数 ，使当 对一切 xD ,p一切正整数 都有和  | ( ) ( ) | ,n p nS x S x 或      12| ( ) ( ) ( ) | .n n n pu x u x u x 此定理中当 p=1 时 , 得到函数项级数一致收敛的一 个必要条件 . 推论 (函数项级数一致收敛的必要条件 ) 函数项级 数  ()nu x D在 数 集 上 一 致 收 敛 的 必要条件是函数 { ( )}nux D列 在 上一致收敛于零 . ( ) ( ) ,nu x D S x设函数项级数 在 上的和函数为 称( ) ( ) ( )nnR x S x S x( ) .nux为函数项级数 的余项定理 (余项法则 ) 函数项级数 ()nux 在数集 D 一致收 ()Sx敛于 的充要条件是li m su p | ( ) | li m su p | ( ) ( ) | x D x DR x S x S x     0, [ , ] ( 1 )nnx a a a我们再来看例4 中的级数 若仅在上讨论 , 则由 [ , ] [ , ]su p | ( ) ( ) | su p 1nnx a a x a axS x S xx       0 ( )1nana0[ , ] ( 1 , 1 )nnx a a可得级数 在 上一致收敛. 若在上讨论这个级数 , 则由      ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )1su p | ( ) ( ) | su p111nnnxxnx nS x S xnxn     ( 1 ) ( )1nnnnn0( 1 , 1 )nnx知道级数 在 内不一致收敛.20( 1 )nnxx (0,1)例 9 讨论函数项级数 在 上一致 收敛性 . 120( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nknnkS x x x x x    所以 ( ) l i m ( ) ( 1 )nnS x S x x   ，于是 | ( ) ( ) | ( 1 ) ,nnS x S x x x  由 1( ( 1 ) ) ( 1 ) 0n n nx x n x n x     解得最大值点 0 1nxn , 故 解 [ 0 , 1 ]su p | ( ) ( ) |nxS x S x因此 20( 1 )nnxx 在 (0,1)上一致收敛 . 注 当和函数容易求出时 , 余项准则是比较好用的一种判别方法 . 1 011nnnn0n1n2n() 1S x x( ) ( ) ( )111nnS x x x  xy 1 1 O图 13 5 三、函数项级数的一致收敛判别法 判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西 准则或余项准则外 , 有些级数还可以根据级数一般 项的某些特性来判别 . 定理 (魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法 ) ( ) ,nu x D定义在数集 上 nM设函数项级数 为收 敛的正项级数， ,xD若对一切 有| ( ) | , 1 , 2 , , ( 1 3 )nnu x M n()nu x D则函数项级数 在 上一致收敛.证 ,nM由假设正项级数 收敛 根据数项级数的柯 , 存在某正整数 N, 使得当 n N 西准则 , 任给正数 及任何正整数 p, 有 11| | .n n p n n pM M M M         ( 1 3 ) xD又由 式对一切 有 11| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |n n p n n pu x u x u x u x       根据函数项级数一致收敛的柯西准则 , 级数 ()nux在 D 上一致收敛 . 1 .n n pMM     魏尔斯特拉斯 （ Weierstrass 18151897） 德国数学家。 1815年 10月 31日生于德国威斯特伐利亚小村落奥斯滕费尔德 ,1897年 2月 19日卒于柏林。 曾在波恩大学学习法律和财政 ,1838年转学数学。 1854年，根据他的学术成就，柯尼斯堡大学授予他名誉博士学位。 1856年由库默尔推荐成为柏林大学助理教授 , 1865年升为教授。 魏尔斯特拉斯 的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分学、微分几何和线性代数等方面。 他是把严格的论证引进分析学的一位大师。 他在严格的逻辑基础上 ,建立了实数理论 ,用递增有界序列来定义无理数 ,给出了数集的上、下极限、极限点和连续函数等严格定义。 还构造了一个著名的处处不可微的连续函数 ,为分析学的算术化作出重要贡献。 他还是一位杰出的教育家，一生培养了大批有成就的数学人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡娅、施瓦兹、米塔 列夫勒、朔特基、富克斯等。 例 10 函数项级数 22sin c o s,nx nxnn( , ) ( , )x在 上一致收敛. 因为对一切 有        2 2 2 2si n 1 c os 1,n x n xn n n n21 .n而正项级数 是收敛的当级数 ( ) [ , ]nnu x M a b与级数 在区间上成立关 nM [ , ]ab系式 (13)时 , 则称级数 在区间 上优于级 ()nux ()nnM u x为数 , 或称 的 优级数 . 优级 数判别法也称为 M 判别法 . Weierstrass 判 别 法 用 起 来 很 方 便 . 对 于 某 些级 数 ,Weierstrass 判 别 法 就 无 效 , 因 此 还 需 研 究更 精 细 的 判 别 法 .设有定义在区间 I上形如 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnu x v x u x v x u x v x  的函数项级数 . 对级数 (14)有 ( ) ( ) ( 1 4 )nnu x v x定理 (阿贝耳判别法 )设 ( i ) ( )。 nu x I在区间 上一致收敛( ii ) , { ( ) }。 nx I v x对于每一个 是单调的( ii i ) { ( ) } ,nv x I x I在 上一致有界 即对一切 和正整 数 , 存在正数 M, 使得 n| ( ) | ,nv x M则级数 (14)在 I 上一致收敛 . 12| ( ) ( ) ( ) |n n n pu x u x u x      又由 (ii),(iii)及阿贝耳引理 (第十二章 167。 3的引理的推 论 )得到 11| ( ) ( ) ( ) ( ) |n n n p n pu x v x u x v x   由函数项级数一致收敛性的柯西准则 , 得级数 (14) 在 I 上一致收敛 . 1( | ( ) | 2 | ( ) | ) 3 .n n pv x v x M  证 ( i ) , 0 , ,N n N由 任给 存在某正数 使得当 及,p x I任何正整数 对一切 有定理 (狄利克雷判别法 ) 设 ( i ) ( )nux 的部分和数列1( ) ( ) ( 1 , 2, )nnkkU x u x n在 I 上一致有界。 ( ii ) , { ( ) }。 nx I v x对于每一个 是单调的 ( i i i ) ( ) 0 ( ) ,nI v x n在上则级数 (14)在 I上一致收敛 . | ( ) | .nU x M证 由 (i), 存在正数 M, 对一切 x I, 有 因此当 n, p 为任何正整数时 , 12| ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 2 .n n n p n p nu x u x u x。