数学分析之傅里叶级数(编辑修改稿)

数学分析之傅里叶级数(编辑修改稿)内容摘要：

) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff当 πx  时 , 由于     1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff21410 c o s ( 2 1 ) 0 ,2 ( 2 1 )nnn   2221118 3 5    即0,x 当 时 由 于    11( ( 0 + 0 ) ( 0 0 ) ) ( 0 0 ) 0 ,22ff利用傅里叶级数展开式可求出几个特殊级数的和 ,)12c o s ()12( 142)(12nxnnxf,4131211 222 设21 22111,3 5 8     ,614121 2222  ,4131211 2223 ,44212  ,243212 212 ,6     23 1 2 .12    四、小结 ，了解傅里叶级数的收敛定理； 数． 作业 习题 7 上节讨论了以 2 为周期 , 或定义在 (, ) 上 ,然后作 2周期延拓的函数的傅里叶展开式 . 本节讨论更有一般性的以 2l为周期的函数的傅里叶展开式 , 以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式 . 167。 2 以 2l 为周期的函数的展开式 一、以 2l为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数 , 通过变量替换 : π ,πx l ttxl 或 ( ) .πltF t ff [ , ]ll F 若 在 上可积 , 则 在 [ π, π]上也可积 , 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是 : 01( ) ( c os si n ) , ( 1 )2 nnnaF x a n x b n x就可以将 f 变换成以 为周期的关于变量 t 的函数 2π其中 (2) ππππ1( ) c os d , 1 , 2, ,π1( ) si n d t , 1 , 2, .πnna F t n t t nb F t n t n πxt l ( ) ( ) .πltF t f f x因为 , 所以 于是由 (1)与 (2)式分别得 01π π( ) ( c os si n ), ( 3 )2 nnna n x n xf x a bll与 这里 (4)式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数 , (3) 式是 f 的傅里叶级数 . 若函数 f 在 [ , ]ll 上按段光滑 , 则同样可由收敛定理 知道 1 π( ) c os d , 0, 1 , 2, ,1 π( ) si n d , 1 , 2, 3, .lnllnlnxa f x x nllnxb f x x nll(4)( 0 ) ( 0 )2f x f x  例 1 将函数 0, 5 0,()3, 0 5xfxx   展开成傅里叶级数 . 01π π( c os si n ). ( 5 )2 nnna n x n xabll  ( 5 , 5 ) ,f由 于 在 上 按 段 光 滑 因 此 可解 以 展 开 成 傅里叶级数 .根据 (4) 式 ,有 05501 π 1 π0 c o s d 3 c o s d5 5 5 5nn x n xa x x  5035 πsin 0, 1 , 2, ,5 π5nx nn   550 5011 ( ) d 3 d 3 ,55a f x x x  501 π3 sin d55nnxbx   5035 π 3 ( 1 c os π )c os5 π 5 πn x nnn    6, 2 1 , 1 , 2, ,( 2 1 ) π0, 2 , 2 1 , 2, .n k kkn k k代入 (5)式 , 得  13 6 ( 2 1 ) π( ) si n2 ( 2 1 ) π5kkxfxk    36 π 1 3 π 1 5 πsi n si n si n .2 π 5 3 5 5 5x x x( 5 , 0 ) ( 0 , 5 ) .x 这里 0x  当 和 177。 5 时级数收敛于 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 [ , ]ll ( ) c o sf x nx的 偶函数 , 则在 上 , 是偶函数 , ( ) s inf x nx是奇函数 . 因此 , f 的傅里叶系数 (4)是 01 π( ) c os d2 π( ) c os d , 0, 1 , 2, , ( 6 )1 π( ) si n d 0, 1 , 2, .lnlllnlnxa f x xllnxf x x nllnxb f x x nll   设 f 是以 2l 为周期的偶函数 , 或是定义在 上 [ , ]ll于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项 , 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数 . 01π( ) c os , ( 7 )2 nna nxf x al 同理 , 若 f 是以 2l 为周期的奇函数 , 或是定义在 [ , ]ll 上的奇函数 , 类似可推得 01 π( ) c os d 0, 0, 1 , 2, ,( 8 )2 π( ) si n d , 1 , 2, .lnllnnxa f x x nllnxb f x x nll   所以当 f 是奇函数时 , 它的傅里叶级数只含有正弦 函数的项 , 即 1( ) si n , ( 9 )nnnxf x bl其中 nb 如 (8) 式所示 . (9) 式右边的级数称为 正弦级 数 . 若 l , 则偶函数 f 所展开成的余弦函数为 01( ) c os , ( 10 )2 nnaf x a n x 其中 当且 f 为奇函数时 , 则它展成的正弦级数为  π02 ( ) c o s d , 0 , 1 , 2 , .πna f x nx x n1( ) si n , ( 12 )nnf x b n x其中 π02 ( ) sin d , ( 1 3 )πnb f x nx x [0, ] [0, ]l注 如何将定义在 上 (或更一般地 上 )的函 数展开成余弦级数或正弦级数 ? 方法如下 : 首先将 定义在 [0, ] 上的函数作偶式延拓或奇式延拓到 [ π, π] 上 (如图 158(a)或 (b)). 然后求延拓后函数的 傅里叶级数 , 即得 (10)或 (12)形式 . 图 158 (a) 偶式延拓 (b) 奇式延拓Oyxπ πOyxππ也可以不作延拓直接使用公式 (11)或 (12), 计算出它 的傅里叶系数 , 从而得到余弦级数或正弦级数 . 例 2 设函数    ( ) | s in | , π π ,f x x x求 f 的傅里叶级数展开式 . 解 f 是 [ π, π] 上的 偶函数 , 图 159 是 这函数及其周期延 拓的图形 .由于 f 是 15 9图Oyxππ 3π2π 2π按段光滑函数 , 因此可以展开成傅里叶级数 , 而且 这个级数为余弦级数 . 由 (10)式 (这时可把其中 “ ~” 01| si n | c os ,2 nnax a n x 其中 0 024sin d ,ππa x xπ1 02 sin c o s d 0,πa x x x改为“ ” )知道 ππ0022| s in | c o s d s in c o s dππna x nx x x nx xπ021 [ sin( 1 ) sin( 1 ) ] dπ2 n x n x x      212 [ c o s( 1 ) π 1 ] ( 1 )π1 nnn20, 3, 5, ,41, 2, 4, .π 1nnn 所以   212 1 4| si n | c os 2π π 4 1mx m xm        212 c os 21 2 .,π 4 1mmx xm  21210 1 2 .π 4 1m m1 1 1 1 .2 1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 )mm       0x 当 时 , 有 由此可得 1 , 0 ,1( ) , ,20, πxhf x x hhx解 函数 f 如图 1510所示 ,它是按段光滑函数 , 因而 可以展开成正弦级数 (12),其系数 π0022( ) s in d s in dππ hnb f x nx x nx x例 3 求定义在 上的函数 [0, π](其中 0 h )的正弦展开式 . πOyxh π11510 图 02 c os 2 ( 1 c os ) .π πhnxnhnn  所以     12 ( 1 c os )( ) si n , 0 , π.π nnhf x n x x h h xn0x  xh当 时 , 级数的和为 0。 当 时 , 有  12 ( 1 c os ) 1 0 1si n .π 2 2nnh nhn15 11图Oyx226 620 , 0 , 1 , 2 , ,nan   202 π 4sin d c o s π22 πn nxb x x nn  14 ( 1 ) , 1 , 2 , .π n nn()f x x (0, 2)例 4 把 在 内展开成 : (i) 正弦级数。 (ii)余弦级数 . 解 (i)为了把 f 展开 为正弦级数 ,对 f 做奇式周期延 拓 (图 1511), 并由公式 (8)有 所以当 ( 0 , 2 )x  时 , 由 (9) 及收敛定理得到    114 π( ) ( 1 ) si nπ2nnnxf x xn4 π 1 2 π 1 3 πsi n si n si n . ( 14 )π 2 2 2 3 2x x x   但当 x=0, 2 时 , 右边级数收敛于 0. 15 12图Oyx22 46 62(ii)为了将 f 展开成余弦级数 ,对 f 做偶式延拓 ( 图 1512).由公式 (6)得 f 的傅里叶系数为 0 , 1 , 2 , ,nbn20 0 d 2,a x x   2 2202 π4c o s d ( c o s π 1 )22 πn nxa x x nn224 [ ( 1 ) 1 ] , 1 , 2 , ,πn nn   或 2 1 2228 , 0 ( 1 , 2, ) .(。