20xx-20xx考研数学一试题及答案解析(编辑修改稿)

20xx-20xx考研数学一试题及答案解析(编辑修改稿)内容摘要：

0| | | | 1 1 3 40 1 1A E B E     . 十一、 【 解 】 (1) { | } ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 ,m m n mnP Y m X n C p p m n n      . (2) { , }P X n Y m= { } { | }P X n P Y m X n   = ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 , .!n m m n mne C p p m n nn       十二、 【 解 】 易见随机变量 11()nXX , 22()nXX , 2,( )nnXX 相互独立都服从正态分布2(2 ,2 )N  .因此可以将它们看作是取自总体 2(2 ,2 )N  的一个容量为 n 的简单随机样本 .其样本均值为 21111( ) 2nni n i iiiX X X X  , 样本方差为 21 ( 2 )11ni n ii X X X Ynn   . 因样本方差是总体方差的无偏 估计 ,故 21( ) 21EYn  ,即 2( ) 2( 1)E Y n . 安庆师范学院 09 计 1 班 14 2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .把答案填在题中横线上 .) (1) e xx dx2ln= . (2)已知函数 ()y y x 由方程 016 2  xxye y 确定 ,则 (0)y = . (3)微分方程 02  yyy 满足初始条件0011, 39。 2xxyy的特解是 . (4)已知实二次型 323121232221321 444)(),( xxxxxxxxxaxxxf  经正交变换x Py 可化成标准型 216yf  ,则 a = . (5)设随机变量 X 服从正态分布 2( , )( 0)N     ,且二次方程 042  Xyy 无实根的概率为 12 ,则  ＝ . 二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .) (1)考虑二元函数 ),( yxf 的下面 4 条性质 : ① ),( yxf 在点 ),( 00 yx 处连续。 ② ),( yxf 在点 ),( 00 yx 处的两个偏导数连续。 安庆师范学院 09 计 1 班 15 ③ ),( yxf 在点 ),( 00 yx 处可微。 ④ ),( yxf 在点 ),( 00 yx 处的两个偏导数存在． 若用“ PQ ”表示可由性质 P 推出性质 Q ,则有 (A) ②  ③  ① . (B) ③  ②  ① . (C) ③  ④  ① . (D) ③  ①  ④ . (2)设 0( 1, 2, 3, )nun L,且 lim 1n nnu ,则级数 11 111( 1) ( )nn nnuu   (A) 发散 . (B) 绝对收敛 . (C) 条件收敛 . (D) 收敛性根据所给条件不能判定 . (3)设函数 ()y f x 在 (0, ) 内有界且可导 ,则 (A) 当 0)(lim  xfx时 ,必有 0)(lim  xfx. (B) 当 )(lim xfx 存在时 ,必有 0)(lim  xfx. (C) 当0lim ( ) 0x fx 时 ,必有0lim ( ) 0x fx  . (D) 当0lim ( )x fx 存在时 ,必有0lim ( ) 0x fx  . (4)设有三张不同平面的方程 1 2 3i i i ia x a y a z b  , 3,2,1i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２ ,则这三张平面可能的位置 关系为 (5)设 1X 和 2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量 ,它们的概率密度分别为 1()fx和 2()fx,分布函数分别为 1()Fx和 2()Fx,则 安庆师范学院 09 计 1 班 16 (A) 1()fx＋ 2()fx必为某一随机变量的概率密 度 . (B) 1()fx 2()fx必为某一随机变量的概率密度 . (C) 1()Fx＋ 2()Fx必为某一随机变量的分布函数 . (D) 1()Fx 2()Fx必为某一随机变量的分布函数 . 三、 (本题满分 6 分 ) 设函数 )(xf 在 0x 的 某 邻 域内 具 有一 阶连 续 导数 , 且 (0) 0, (0) 0ff, 若( ) ( 2 ) (0)af h bf h f在 0h 时是比 h 高阶的无穷小 ,试确定 ba, 的值 . 四、 (本题满分 7 分 ) 已知两曲线 )(xfy 与   x t dtey arctan0 2在点 (0,0) 处的切线相同 ,写出此切线方程 ,并求极限)2(lim nnfn  . 五、 (本题满分 7 分 ) 计算二重积分 dxdyeDyx },m ax{ 22 ,其中 }10,10|),{(  yxyxD . 六、 (本题满分 8 分 ) 设函数 )(xf 在 ( , ) 内具有一阶连续导数 ,L 是上半平面 (y ＞ 0)内的有向分段光滑曲线 ,其起点为 ( ba, ),终点为 ( dc, ).记 22 21 [ 1 ( ) ] [ ( ) 1 ] ,L xI y f x y d x y f x y d yyy    (1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关。 (2)当 cdab 时 ,求 I 的值 . 七、 (本题满分 7 分 ) (1) 验证函数 3 3 3 369( ) 1 ( )3 ! 6 ! 9 ! ( 3 ) !nxxy x xn            LL满足微分方程安庆师范学院 09 计 1 班 17 xeyyy 。 (2)利用 (1)的结果 求幂级数 30(3 )!nnxn的和函数 . 八、 (本题满分 7 分 ) 设有一小山 ,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面 ,其底部所占的区域为 2{( , ) |D x y x 2 75}y xy   ,小山的高度函数为 ),( yxh xyyx  2275 . (1)设 ),( 00 yxM 为区域 D 上一点 ,问 ),( yxh 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大 ? 若记此方向导数的最大值为 ),( 00 yxg ,试写出 ),( 00 yxg 的表达式 . (2)现欲利用此小山开展攀岩活动 ,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点 .也就是说 ,要在 D 的边界线 22 75x y xy   上找出使 (1)中 ),( yxg 达到最大值的点 .试确 定攀登起点的位置 . 九、 (本题满分 6 分 ) 已知四阶方阵 ),( 4321 A , 4321 ,  均为 4 维列向量 ,其中 432 ,  线性无关 , 321 2   ,如果 4321   ,求线性方程组 Ax 的通解 . 十、 (本题满分 8 分 ) 设 ,AB为同阶方阵 , (1)若 ,AB相似 ,证明 ,AB的特征多项式相等 . (2)举一个二阶方阵的例子说明 (1)的逆命题不成立 . (3)当 ,AB均为实对称矩阵时 ,证明 (1)的逆命题成立 . 十一、 (本题满分 7 分 ) 设维随机变量 X 的概率密度为 安庆师范学院 09 计 1 班 18 1 0,c os ,() 220,x xfx    其 他 . 对 X 独立地重复观察４次 ,用 Y 表示观察值大于3的次数 ,求 2Y 的数学期望 . 十二、 (本题满分 7 分 ) 设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 )1(2   2 21 其中 1(0 )2 是未知参数 ,利用总体 X 的如下样本值 3,1,3, 0,3,1, 2,3, 求  的矩估计值和最大似然估计值 . 2020 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【 分析 】 原式2ln 1 ln ee dxxx     (2)【 分 析 】 方程两边对 x 两次求导得 39。 6 39。 6 2 0 ,ye y x y y x    ① 239。 39。 39。 6 39。 39。 12 39。 2 y e y x y y     ② 以 0x 代入原方程得 0y ,以 0xy 代入①得 39。 0,y ,再以 39。 0x y y   代入②得39。 39。 (0)  (3)【 分析 】 这是二阶的可降阶微分方程 . 安庆师范学院 09 计 1 班 19 令 39。 ( )y P y (以 y 为自变量 ),则 39。 39。 39。 .d y d P d PyPd x d x d y   代入方程得 2 0dPyP Pdy ,即 0dPyPdy (或 0P ,但 其不满足初始条件0 139。 2xy  ). 分离变量得 0,dP dyPy 积分得 ln ln 39。 ,P y C即 1CPy( 0P 对应 1 0C )。 由 0x 时 11, 39。 ,2y P y   得1 于是 139。 , 2 ,2y P y d y d xy  积分得 2 2y x C . 又由 0 1xy  得 2 1,C 所求特解为  (4)【 分析 】 因为二次型 TxAx 经正交变换化为标准型时 ,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值 ,所以 6,0,0 是 A 的特征值 . 又因 ii ia ,故 6 0 0 , a a a       (5)【 分析 】 设事件 A 表示“二次方程 042  Xyy 无实根” ,则 {16 4 0 } {A X X     4}. 依题意 ,有 1( ) { 4} .2P A P X   而 4{ 4 } 1 { 4 } 1 ( ) ,P X P X        即 4 1 4 1 41 ( ) , ( ) , 0 . 4 .22              二、选择题 (1)【 分析 】 这是讨论函数 ( , )f xy 的连续性 ,可偏导性 ,可微性及偏导数的连续性之间的关安庆师范学院 09 计 1 班 20 系 .我们知道 , ( , )f xy 的两个偏导数连续是可微的充分条件 ,若 ( , )f xy 可微则必连续 ,故选 (A). (2)【 分析 】 由1lim 1 01nn u nn    充分大时即 ,N n N时 1 0nu,且 1lim 0,n nu 不妨认为, 0,nnu因而所考虑级数是交错级数 ,但不能保证 1nu的单调性 . 按定义考察部分和 1 1 11 1 1111 1 1 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )n n nk k knk k kk k k kS u u u u             1111 1 1 1( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1( 1 ) ( ) ,knnn lklk l n nu u u u u            原级数收敛 . 再考察取绝对值后的级数1 111()n nnuu .注意 11111 2,1 1nn nnuu n n nu u nn     11n n发散 1 111()n nnuu 发散 .因此 选 (C). (3)【 分析 】 证明 (B)对 :反证法 .假设 lim ( ) 0x f x a  ,则由拉格朗日中值定理 , ( 2 ) ( ) 39。 ( ) ( )f x f x f x x。