如何使饮料罐制造用材最省(编辑修改稿)

如何使饮料罐制造用材最省(编辑修改稿)内容摘要：

π R ； V = π R H ⇒ H =V/π R2 又由 S′ (R) = 2π (2R −V ) = 0 ，求得 2π R R=3 V =π RH V V 3 4π 2 = 2R = d 故 H = 2 = π R π V 2 显然，这种尺寸下的易拉罐不美观。 可见，只考虑表面积而不考虑易拉罐各个部分 的 材料厚度是比较粗略的。 联系实际对模型进一步分析， 用手模一下罐顶盖、底盖与侧面发觉硬度都不一样，为了便于计算，不妨假设上下 盖一样厚，侧面较薄，故设罐侧厚为 b ，顶盖底盖厚度为 α b 饮料罐侧面所用材料的体积为： (π ( R + b ) 2 − π R 2 )( H + 2α b ) = (2π Rb + π b 2 )( H + 2α b ) = 2π RbH + π b 2 H + 4απ Rb 2 + 2απ Rb 3 饮料罐顶盖、底部所用材料的体积均为： απ R 2 b 故 Vs 和 V 分别为： V s ( R , H ) = 2 π R b H + π b 2 H + 4α π R b 2 + 2α π b 3 + 2α π R 2 b V (R, H ) = π R 2H 因为 b R ,便于计算，故带 b 2 ,b 3 的项可以忽略，因此 V s ( R , H ) ≈ 2 π R b H + 2α π R 2 b 令 g (R, H ) = π R 2 H − V ，于是建立以下数学模型： R 0, H 0 min Vs ( R, H ) ( R, H ) = 0 其中 Vs 是目标函数， g ( R, H ) = 0 是约束条件 , V 是已知的 (即罐内体积一定 ),即要在体 积一定的条件下 ,求使罐的体积最小的 R 、 H 和 α ，这是一合肥师范学院本科毕业设计（论文） 第 11 页 共 20 页 个求条件极值的问题。 二、模型的求解 由 g ( R, H ) = π R H − V = 0 得 H=V /π R 2 代入 Vs ，原问题化为：求使 Vs 最小的 R : H 值 ,即 求 R 使 Vs ( R, H ( R )) = 2π Rb V 2V + 2απ R 2b = b( + 2απ R 2 ) 的最小。 2 π R R R =3 dS V = 2 b ( 2 α π R − 2 ) = 0 ，解得 dR R V 2 απ 由 Vs 的二阶导 V s= 2b(2V + 2 π ) 0 可知， R 为最值 R −3 H =V = 2α π R2 V= 2α R H = 2 ,则 α = 2 可见，要求使 Vs 最小的 R : H 值，取决于 α 值，由测量数据可知顶盖和底盖的厚度是其他材料厚度的 2倍。 而实际我们测量所得的数据表明顶盖和底盖的厚度是侧面材料厚度的 3倍。 考虑到模具冲压的牢固性，故要选用厚些的材料，这样材料消耗会增大，故日常我们见到的饮料罐尺寸仅从省材角度看并非最优，但从美观和力学牢固程度看，却是最优设计。 问题三模型的建立和求解模型的建立考虑易拉罐的形状为圆柱加圆台 ，先假设其厚度忽略不计，体积为355ml。 易拉罐的表 面积 S ( R , H , r1 ) = π R2 + 2 π RH + π ( R + r1 ) R − r1 + π r1 2 sin θ (π R2 − r1 2） （ = 2 π RH + +π R 2 + r1 2） （ sin θ易拉罐的容积 V = π r 2H 建立模型： 合肥师范学院本科毕业设计（论文） 第 12 页 共 20 页 H +2R 0, H 0, r1 0 R − r1 π ( R 2 + r1 + R r1 2) 3 α 3= 3 π R − r1 H + 3 α min S ( R, H , r1 ) . π R 3 − r13 −V = 0 π R H + 3 α 模型的求解 设拉格朗日乘数 λ ，得拉格朗日函数 F ( R , r1 , H , λ ) = 2π RH + π ( R2 − r12 )sin θ π R 3 − r13 2+ π ( R + r1 ) + λπ R H + −Vα 3 π π R2 FR 39。 = 2π H + sin θ 2 R + 2π R + λ (2π RH + α ) = 0 π π −3r12 Fr1 39。 = (−2r1 ) + 2π r1 + λ ( )=0 sinθ 3 α FH 39。 = 2π R + λπ R 2 = 0 π R 3 − r13 2 Fλ 39。 = π R H + −V = 0 3 α 求解得 λ = −2 R r1 =α R −1 sin θ 3α α 3 3α 2 R 2 3α R 3α V 3 R=( + 3α − − 2) R + − − +1 sin θ sin θ sin θ π sin 3 θ 由数学软件解得具体的值为： R = ， r1 = ， H = ， H = ； 由前面测得的数据可知，高与半径比值为 4时较美观，故现在的结论不是最优，须进一步考虑厚度。 模型的深入 假设罐侧厚为 b ，顶盖底盖厚度为 α b ，θ注：除顶盖和底盖 外其它各个部分的 厚度为α 易拉罐圆柱侧面所用材料的体积为 (π ( R + b) 2 − π R 2 )( H + α b) = (2π Rb + π b 2 )( H + α b) = 2π RbH + π b 2 H + 2απ Rb 2 + απ b3 π R 2 − r12） （ b 易拉罐圆台侧面所用材料 的体积为 s。