初中数学与圆有关的题库(编辑修改稿)

初中数学与圆有关的题库(编辑修改稿)内容摘要：

BC为大圆的弦，边 AD与小圆相切于点 M， OM的延长线与 BC相交于点 N． （ 1）点 N是线段 BC的中点吗。 为什么。 （ 2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm， AB=5cm， BC=10cm，求小圆的半径 ． 考 查知识 点 ：垂径定理；勾股定理；矩形的性质。 疑难点 分析： （ 1）由 AD是小圆的切线可知 OM⊥ AD，再由四边形 ABCD是矩形可知， AD∥ BC，AB=CD，故 ON⊥ BC，由垂径定理即可得出结论； （ 2）延长 ON 交大圆于点 E，由于圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm， AB=5cm 可知ME=6cm，在 Rt△ OBE中，利用勾股定理即可求出 OM 的长． 解答： 解：（ 1）∵ AD是小圆的切线， M为切点， ∴ OM⊥ AD， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴ AD∥ BC， AB=CD， ∴ ON⊥ BC， BE=BC=5cm， ∴ N是 BC的中点； （ 2）延长 ON交大圆于点 E， ∵圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm， AB=5cm， ∴ ME=6cm， 在 Rt△ OBE中，设 OM=r OB2=BC2+（ OM+MN） 2，即（ r+6） 2=52+（ r+5） 2，解得 r=7cm， 故小圆半径为 7cm． 5. （ 2020盐城， 25， 10分）如图，在△ ABC中，∠ C=90176。 ，以 AB上一点 O为圆心， OA长为半径的圆与 BC相切于点 D，分别交 AC、 AB 于点 E、 F． （ 1）若 AC=6， AB=10，求⊙ O的半径； （ 2）连接 OE、 ED、 DF、 EF．若四边形 BDEF是平行四边形，试判断四边形 OFDE的形状，并说明理由． 考 查 点 ：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 . 疑难点 分析： （ 1）连接 OD，设⊙ O的半径为 r，可证出△ BOD∽△ BAC，则ABOBACOD，从而求得 r； （ 2）由四边形 BDEF是平行四边形，得∠ DEF=∠ B，再由圆周角定理可得，∠ B=错误 !未找到引用源。 21∠ DOB，则△ ODE是等边三角形，先得出四边形 OFDE是平行四边形． 再根据 OE=OF，则平行四边形 OFDE是菱形． 解答： 解：（ 1）连接 OD．设⊙ O的半径为 r．∵ BC切⊙ O于点 D，∴ OD⊥ BC． ∵∠ C=90176。 ，∴ OD∥ AC，∴△ OBD∽△ ABC．∴ABOBACOD，即 10r=6（ 10﹣ r）． 解得 r=错误 !未找到引用源。 415 ，∴⊙ O的半径为 415 错误 !未找到引用源。 ． （ 2）四边形 OFDE是菱形． ∵四边形 BDEF是平行四边形，∴∠ DEF=∠ B． ∵∠ DEF=21 错误 !未找到引用源。 ∠ DOB，∴∠ B=错误 !未找到引用源。 21 ∠ DOB． ∵∠ ODB=90176。 ，∴∠ DOB+∠ B=90176。 ，∴∠ DOB=60176。 ． ∵ DE∥ AB，∴∠ ODE=60176。 ． ∵ OD=OE，∴ OD=DE．∵ OD=OF，∴ DE=OF．∴四边形 OFDE是平行四边形． ∵ OE=OF， ∴平行四边形 OFDE是菱形． 6.（ 2020 江苏扬州， 26， 10分） 已知，如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90186。 ，∠ BAC的角平分线 AD交 BC边于 D。 （ 1）以 AB边上一点 O为圆心，过 A， D 两点作 ⊙ O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线 BC与⊙ O的位置关系，并说明理由； （ 2）若（ 1）中的⊙ O与 AB边的另一个交点为 E， AB=6， BD=2 3 , 求线段 BD、 BE与劣弧DE所围成的图形面积。 （结果保留根号和 π ） 考 查知识 点 ：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；作图 — 复杂作图；相似三角形的判定与性质。 疑难点 分析： （ 1）根据题意得： O 点应该是 AD垂直平分线与 AB 的交点；由∠ BAC的角平分线 AD交 BC边于 D，与圆的性质可证得 AC∥ OD，又由∠ C=90176。 ，则问题得证；（ 2）过点D作 DM⊥ AB于 M，由角平分线的性质可证得 DM=CD，又由△ BDM∽△ BAC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得 CD： AC=错误 !未找到引用源。 ： 3，可得∠ DOB=60176。 ，则问题得解． 解 答： 解：（ 1）如图：连接 OD， ∵ OA=OD， ∴∠ OAD=∠ ADO， ∵∠ BAC的角平分线 AD交 BC边于 D， ∴∠ CAD=∠ OAD， ∴∠ CAD=∠ ADO， ∴ AC∥ OD， ∵∠ C=90176。 ， ∴∠ ODB=90176。 ， ∴ OD⊥ BC， 即直线 BC与⊙ O的切线， ∴直线 BC与⊙ O的位置关系为相切； （ 2）过点 D作 DM⊥ AB于 M， ∴∠ DMB=∠ C=90176。 ， ∵∠ B=∠ B， ∴△ BDM∽△ BAC， ∴ 错误 !未找到引用源。 ， ∵ AD是∠ CAB的平分线， ∴ CD=DM， ∴ 错误 !未找到引用源。 ， ∴∠ CAD=30176。 ， ∴∠ DAB=30176。 ，∠ B=30176。 ， ∴∠ DOB=60176。 ， ∴ OD=2， ∴ S 扇形 ODE=错误 !未找到引用源。 =错误 !未找到引用源。 π， S△ ODB=错误 !未找到引用源。 OD• BD=错误 !未找到引用源。 2 2错误 !未找到引用源。 =2错误 !未找到引用源。 ∴线段 BD、 BE与劣弧 DE所围 成的图形面积为： S△ ODB﹣ S 扇形 ODE=2错误 !未找到引用源。 ﹣ 错误 !未找到引用源。 π． 7. （ 2020南昌， 22， 7 分 ）如图，已知 ⊙ O的半径为 2，弦 BC 的长为 32 错误 !未找到引用源。 ，点 A为弦 BC 所对优弧上任意一点（ B， C两点除外）． （ 1）求 ∠ BAC的度数； （ 2）求 △ ABC面积的最大值． （参考数据： sin60176。 =23 错误 !未找到引用源。 ， cos30176。 =23 错误 !未找到引用源。 ，tan30176。 = 33 错误 !未找到引用源。 ．） 考 查知识 点 ：垂径定理；圆周角定理；解直角三角形 . 疑难点 分析： （ 1）连接 OB、 OC，作 OE⊥ BC于点 E，由垂径定理可得出 BE=EC= 3 错误 !未找到引用源。 ，在 Rt△ OBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出 ∠ BOE的度数，再由圆周角定理即可求解； （ 2）因为 △ ABC的边 BC的长 不变，所以当 BC 边上的高最大时， △ ABC 的面积最大，此时点 A应落在优弧 BC的中点处，过 OE⊥ BC与点 E，延长 EO 交 ⊙ O 于点 A，则 A为优弧 BC的中点，连接 AB， AC，则 AB=AC，由圆周角定理可求出 ∠ BAE的度数，在 Rt△ ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出 AE的长，由三角形的面积公式即可解答． 解答： 解：（ 1）解法一：连接 OB， OC，过 O 作 OE⊥ BC 于点 E． ∵ OE⊥ BC， BC= 32 错误 !未找到引用源。 ， ∴ 3 ECBE 错误 !未找到引用源。 ．在 Rt△ OBE 中， OB=2， ∵ 错误 !未找到引用源。 23s in  OBBEB O E ， ∴∠ BOE=60176。 ， ∴∠ BOC=120176。 ， ∴ 6021 B O CB A C ． 解法二：连接 BO并延长，交 ⊙ O于点 D，连接 CD.∵ BD是直径， ∴ BD=4， ∠ DCB=90176。 ． 在 Rt△ DBC中， 错误 !未找到 引用源。 234 32s in  BDBCB D C ， ∴∠ BDC=60176。 ， ∴∠ BAC=∠ BDC=60176。 ． （ 2）解法一：因为 △ ABC的边 BC的长不变，所以当 BC边上的高最大时， △ ABC的面积最大，此时点 A落在优弧 BC的中点处．（ 5分） 过 O作 OE⊥ BC于 E，延长 EO交 ⊙ O于点 A，则 A为优弧 BC的中点．连接 AB， AC，则 AB=AC， 3021 B A CB A E 错误 !未找到引用源。 ．在 Rt△ ABE中， ∵ 3BE ，  30BAE错误 !未找到引用源。 ， ∴ 333330ta n BEAE ， ∴ S△ ABC= 3333221  . 答： △ ABC面积的最大值是 33 错误 !未找到引用源。 ． 解法二：因为 △ ABC的边 BC的长不变，所以当 BC边上的高最大时， △ ABC的面积最大，此时点 A落在优弧 BC的中点处．（ 5分） 过 O作 OE⊥ BC于 E，延长 EO交 ⊙ O于点 A，则 A为优弧 BC的中点．连接 AB， AC，则 AB=AC． ∵∠ BAC=60176。 ， ∴△ ABC 是 等边三角形．在 Rt△ ABE 中， ∵ 3BE ，  30BAE 错误 !未找到引用源。 ， ∴ 333330ta n BEAE ， ∴ S△ ABC= 3333221  . 答： △ ABC面积的最大值是 33 错误 !未找到引用源。 ． 8. （ 2020 内蒙古呼和浩特， 24， 8）如图所示， AC 为 ⊙ O 的直径且 PA⊥ AC， BC是 ⊙ O的一条弦，直线 PB交直线 AC 于点 D， 23DB DCDP DO． （ 1）求证：直线 PB 是 ⊙ O的切线； （ 2）求 cos∠ BCA的值． 考 查知识 点： 切线的判定与性质 ； 全等三角形的判定与性质 ； 相似三角形的判定与性质 ； 锐角三角函数的定义 ． 疑难点 分析： （ 1）连接 OB、 OP，由 23DB DCDP DO，且 ∠ D=∠ D，根据三角形相似的判定得到 △ BDC∽△ PDO，可得到 BC∥ OP，易证得△ BOP≌△ AOP，则 ∠ PBO=∠ PAO=90176。 ； （ 2）设 PB=a，则 BD=2a，根据切线长定理得到 PA=PB=a，根据勾股定理得到 AD=2 2 a，又 BC∥ OP，得到 DC=2CO，得到 DC=CA=122 2 a= 2 a，则 OA= 22a，利用勾股定理求出 OP，然后根据余弦函数的定义即可求出 cos∠ BCA=cos∠ POA的值． 解答： （ 1）证明：连接 OB、 OP，如图， ∵ 23DB DCDP DO，且 ∠ D=∠ D， ∴△ BDC∽△ PDO， ∴∠ DBC=∠ DPO， ∴ BC∥ OP， ∴∠ BCO=∠ POA， ∠ CBO=∠ BOP 而 OB=OC ∴∠ OCB=∠ CBO ∴∠ BOP=∠ POA 又 ∵ OB=OA， OP=OP ∴△ BOP≌△ AOP ∴∠ PBO=∠ PAO 又 ∵ PA⊥ AC ∴∠ PBO=90176。 ∴ 直线 PB是 ⊙ O的切线； （ 2）由（ 1）知 ∠ BCO=∠ POA， 设 PB=a，则 BD=2a 又 ∵ PA=PB=a ∴ AD= 2222DP PAa， 又 ∵ BC∥ OP ∴ DC=2CO， ∴ DC=CA= 12 2 2 a= 2 a， ∴ OA= 22a， ∴ OP= 2 2 2 226()22aO A P A a a   ， ∴ c。