函数的联系性连续函数的概念(编辑修改稿)

函数的联系性连续函数的概念(编辑修改稿)内容摘要：

,g u u由 于 在 点 连 续01( ) , 0 ,f x x  又因为 在点 连续 故对上述00 , | | ,xx  存 在 当 时 有0 0 1| ( ) ( ) | | | ,f x f x u u    00| ( ( ) ) ( ( ) ) | | ( ) ( ) | ,g f x g f x g u g u e   于是 返回 后页 前页 0( ( ) ) .g f x x这 就 证 明 了 在 点 连 续 对这个定理我们再作一些讨论 ,以加深大家对该定 00 0( 1 ) li m ( ) , li m ( ) ,u u x xg u A f x u 由 不 一 定 有请大家仔细观察定理 的证明 , 看看此时究竟哪 0l i m ( ( ) ) .xx g f x A 理的认识 . 里通不过 . 返回 后页 前页 ) ) .(lim()())((lim00 0xfgugxfg xxxx  )*(应用定理 ,就得到所 0( ) .f x x使 得 在 点 连 续(*)式相应的结论仍旧是成立的 . ,)(lim,)()2( 000uxfuug xx 连续在若 则有 0 0l i m ( )xx f x u 若将 改为 需要的结论 . ,)(lim 0uxfx  0)(lim uxfx  ,)(lim 0uxfx 或事实上 ,只要补充定义 （ 或者重新定义） 00()f x u返回 后页 前页 上述 (1)和 (2)究竟有什么本质的区别呢 ? 请读者作 .0))1(lims i n ()1s i n (lim 2121   xx xx).1s i n (lim 21 xx 求例 1 22s in ( 1 ) ( ) s in , ( 1 )x g u u u x   可 视 为 的 复解 合，所以 出进一步的讨论 . 返回 后页 前页 例 2 .s i n2l i m 0 x xx 求解 ( ) 1 ,g u u u因 为 在 连 续 所 以.112)s i n2(lims i n2lim10 xxxxxx例 3 .)11s i n(lim xx x求解 1lim ( 1 ) e , sin e ,xxuux  因 为 在 点 连 续所以 .es i n)11s i n(lim xx x返回 后页 前页 均有 使得对一切 存在 , 0 D x D x   ),)()(()()( 00 xfxfxfxf [ , ] , .ab 上的整体性质 证明将在第七章里给出.],[ 上连续在闭区间设 baf 在本节中将研究 f 在 二、闭区间上连续函数的性质 定义 1 ( ) .f x D设 为 定 义 在 数 集 上 的 一 个 函 数若 ( ) ( ) ,f x D则 称 在 上 有 最 大 小 值0 ()x 称 为 最 大 小 值0( ) ( ) ( ) .f x f x D称 为 在 上 的 最 大 小 值点 , 返回 后页 前页 的最大值不存在 ,最小值为零 .注意 : ][ xxy 既无最大值 ,又无最小值 . 22yx π πsin ( , )在 上定理 （最大、最小值定理） ()fx若 函 数 在 闭 区[ , ]ab间 上连续， ( ) [ , ] .f x a b则 在 上有最大、最小值xy sgn例如 ,符号函数 的最大值为 1,最小值为 1。 xy s i n正弦函数 的最大值为 1,最小值为 1。 函数 (其上确界为 1, 下确界为 1 ) 这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的 返回 后页 前页 推论 )(,],[)( xfbaxf 则上连续在闭区间若函数.],[ 上有界在 ba( 0 , 1 ) .在 上 无 界()fx函数 有最大、最小这是因为由定理 可知 , 值 , 从而有上界与下界 ,于是 f (x) 在 [a, b] 上 是有 1( ) , ( 0 , 1 )f x xx函 数 虽然也是连续函数 ,但是 内涵 ,在今后的学习中有很广泛的应用 . 界的 . 返回 后页 前页 这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性 定理 （介值性定理） ],[)( baxf 在闭区间设函数( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,f a f b f b f a   间 的 任 一 数 或.)( 0 xf.)()( bfaf 且 ( ) ( )f a f b若 是 介 于 与 之上连续 , 使得,),(0 bax 则 (至少 )存在一点 质有着根本的区别 . 返回 后页 前页 从几何上看 ,当连续曲线 从水平直线 ()y f x y 的一侧穿到另一侧时 , 两者至少有一个交点 . ()y f xyxo)(af)(bfa b0x返回 后页 前页 推论 （ 根的存在性定理） ,],[)( 上连续在若 baxf0)( 0 xf应当注意 , 此推论与定理 . 于是 , 只要 则至少存在一点 ,0)()(  bfaf ,0x 使 下面用确界定理来证明上述推论 , 大家要注意学习 证明了推论 , 也就完成了定理 证明 . 确界定理的使用方法 . 返回 后页 前页 (E为图中 x 轴上的红 }.0)(,],[|{  xfbaxxE 证 不妨设 ( ) 0 , ( ) 0 ,f a f b并设 xyO a b零点 . 证明如下： 的最大值就是函数的 线部分 )从几何上看 , E 返回 后页 前页 因为 ,aE 所以 ,E  又 E 是有界的 , 故由确 我们来否定下面两种情形 : 1. 00( ) 0 .f x a x b  若 ， 则 有由 f (x)在点 是 0x连续的 , 根据保号性 , 存在 00 ( ) ,xb   使当.0)( xf.0 bxa 界定理 , Ex s up0  存在，显然 ),[ 00  xxx 时，仍有00( ) 0 , ,22f x x E   特 别 是 使 得 这 就 与返回 后页 前页 0 s u p .xE 相 矛 盾2. 00( ) 0 .f x a x b  若 ， 则。