函数的联系性连续函数的性质(编辑修改稿)

函数的联系性连续函数的性质(编辑修改稿)内容摘要：

以分别存在 使得 ,0,0 21  当 1 2 1 1 2 1, , | | ,xx Ι xx    时12| ( ) ( ) | ,f x f x 当 1 2 2 1 2 2, , | |xx Ι xx    时 ,12| ( ) ( ) | .f x f x ,0},m i n { 21  取 则对于任意的 , 2121 ΙΙxx 证 对任意的 ,0 因为 )(xf 在 21 ,ΙΙ 上一致 1 2 1 2 21 . , , .情 形 或xx Ι xx Ι此时自然有 12| ( ) ( ) | .f x f x 有以下两种情形： 12| | ,xx 当 时返回 后页 前页 1 1 2 22 . , .x Ι x Ι情形 注意到 1 2 1 2, | | , | | ,c Ι Ι x c x c    1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x f x f c f x f c    可得 .2  综上，证得 )(xf 在区间 21 ΙΙ  上一致连续 . 注 例 10的条件 ”“ 21 ΙΙc  是重要的 . 比如 返回 后页 前页 32,021,1)(xxxf在区间 ]2,1[ 与区间 ]3,2( 上分别一致连续 , 但在 区间 [1, 3] 上不连续 , 当然也不一致连续 . 返回 后页 前页 例 11 设 ),[)( axf 在 上连续 , 并且 .)(l i m Axfx 证明 ),[)( axf 在 上一致连续 . 证 因为 Axfx  )(l i m, 所以对任意的正数 ,0存在 有时，当 XxxaX  21 ,21| ( ) ( ) | .f x f x 又 ]1,[)( Xaxf 在 上连续 , 故由定理 f (x) [ , 1 ]aX 在 上一致连续 . 因此对上述 ， 存在正数 ,)1(  使对任意 ],1,[, 21  Xaxx返回 后页 前页 只要  || 21 xx , 必有 12| ( ) ( ) | .f x f x 现对任何 1 2 1 2, [ , ) , | | ,x x a x x     讨论如下 . 121 . , [ , 1 ] ,x x a X情形 自然有12| ( ) ( ) |。 f x f x 情形 2. 注意到 ,1 所以若情形 1 不成立 , 必然有 , 21 XxXx 返回 后页 前页 .),[)(, 上一致连续在证得综上 axf于是 12| ( ) ( ) | .f x f x 返回 后页 前页 167。 3 初等函数的连续性 在学习了连续函数的定义及其一系 一、指数函数的连续性 二、初等函数的连续性 上总是连续的 . 要结论：初等函数在其有定义的区间 列基本性质后，现在可以证明一个重 返回返回 后页 前页 一、指数函数的连续性 在第一章中 , 我们已经定义了指数函数 ,1,0,R,  aaxay x并指出它在 R 内是严格单调的 . 所以 , 若能证明指 首先证明指数函数的一个重要性质 . 定义域内也是连续函数 . 数函数是连续函数 , 那么它的反函数对数函数在其 返回 后页 前页 证 当 ,是有理数时 , 这是我们熟知的一个结果 . su p { | } .xrrxa a r 为 有 理 数, 21    aaaa rr对于任意 ,),(0   aa  存在有理数 ,1 r定理 设 为任意实数 , 则有  、aa ,1,0 .  aaa先设 ,1a 由定义， 使 ,2 r返回 后页 前页 因为  是任意的 , 所以 .  aaa反之 , 存在有理数 使),( 00  rr0 .raa  再取有理数 1 2 0 1 2, , ,r r r r r   使则,02121    aaaaaaa rrrrr于是有 .))(( 2121     aaaaaa rrrr返回 后页 前页 仍因  是任意的 , 又得 .  aaa这就证明了 .  aaa,10 的情形对于  a只要令 ,1ab 就有 .)()()(    abbbaa返回 后页 前页 定理 指数函数 )1,0(  aaay x 在 R上是连 证 我们仍旧先假设 首先证明指数函数在 .1a0x 处连续 , 即 ).0(1l i m 0 fa xx 这是因为对于任意的正数 ,)10(   取 | },)1(l og|),1(m i n {l og   aa| | ,x 当 时 | 1 | .xa 就 有所以 xa 在 x = 0 处连续 . 续的 . 返回 后页 前页 对于一般的点 ,R0 x 由定理 ,l i ml i ml i m 000000 0xxxxxxxxxxxx aaaaaa  所以 xaxf )( 在 R 上连续 . 对于 ,10 情形 a 只要设 ,1ab  由 ,11 xxxbba 就可得到相应的结论 . 注 1 , 1 .xa y a  当 时 显 然 是 连 续 函 数返回 后页 前页 也是连续的 . 例 1 设 .)(lim,0)(lim00bxvaxu xxxx   证明 .)(l i m )(0bxvxx axu  推论 1 对数函数 lo g ( 0 , 1 )ay x a a  在定义域 ),0(  上是连续的 . 续 , 从而 )(ln)( xuxv 在点 x0 也连续 , 于是证得 证 设 )(),(,)(,)( 00 xvxubxvaxu 则在点 x0 连 推论 2 幂函数 xxy lne   在定义域 上),0( 返回 后页 前页 注 例 1的结论可改写为 .)(l i m)(l i m)(lim)( 000xvxxbxvxxxxxuaxu )(ln)(l i m)(ln)()(0eelim)(lim00xuxvxuxvxxxvxxxxxu .e ln bab a解 因为 1122 c os 1c os 1( c os ) ( 1 c os 1 ) ,xxxxxx    令 .1c os)(,)1c os1()( 21c o s 1 x xxvxxu x  例 2 求 .)( c o slim 210 xxx 返回 后页 前页 ,212s i n2l i m1c o sl i m22020 xxxxxx由此求得 1 22100c o sc o s 1lim ( c o s ) lim ( 1 c o s 1 )xxxaxxxxx   ,e)1c o s1(l i m)(l i m 1c o s100 xxxxxu当 故 π0 | | c o s 1 0 ,2xx   时，12 1e.e返回 后页 前页 二、初等函数的连续性 我们已经知道以下函数在定义域内是连续的 (i) 常值函数。 (vi) 对数函数 . (v) 指数函数。 (iv) 幂函数。 (iii) 反三角函数。 (ii) 三角函数。 返回 后页 前页 以上六种函数称为基本初等函数 . 因为连续函数 由上面的分析 , 我们得到如下结论： 定义 3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复 上是连续的 . 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在） 的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复 的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面 合运算所产生的函数称为初等函数 . 返回 后页 前页 例 3 求极限 .c o s )1l n(lim0 xxx.00c os )01l n(c os )1l n(lim0 xxx定理 初等函数在其有定义的区间上是连续的 . 注 上述结论中所指的 “ 定义区间 ” ,今后 (第十六 解 因为 xxco s )1ln (  是初等函数 , 所以在 处连续 , 0x从而 章 )在一般意义下可以改为 “ 定义域 ” . 返回 后页 前页 例 4 据理说明 1 , 0()0, 0xfxx 不是初等函数 . 解 因为 0x 是 )(xf 的定义区间上的点 , 而 ),0(01)(lim 0 fxfx 所以 在 处不连续 . 因此函数 不是初 0x()fx ()fx等函数 . 返回 后页 前页 CHAPTER FOUR 货币和通货膨胀 返回 后页 前页 在本章，你将会学到： • 通货膨胀的古典理论 –causes –effec。