函数与基本初等函数复习资料(编辑修改稿)

函数与基本初等函数复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置 . 【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用 最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等 . 【 示例 】 ►(本题满分 12分 )已知函数 f(x)＝ x2－ 2ax＋ 2，当 x∈ [－ 1，＋ ∞ )时， f(x)≥ a恒成立，求 a 的取值范围． 利用函数性质求 f(x)的最值，从而解不等式 f(x)min≥ a，得 a 的取值范围．解题过程中要注意 a 的范围的讨论． [解答示范 ] ∵ f(x)＝ (x－ a)2＋ 2－ a2， ∴ 此二次函数图象的对称轴为 x＝ a(1 分 ) (1)当 a∈ (－ ∞ ，－ 1)时， f(x)在 [－ 1， ＋ ∞ )上单调递增， ∴ f(x)min＝ f(－ 1)＝ 2a＋ 3.(3 分 ) 要使 f(x)≥ a 恒成立，只需 f(x)min≥ a，即 2a＋ 3≥ a， 解得 a≥ － 3，即－ 3≤ a＜－ 1.(6 分 ) (2)当 a∈ [－ 1，＋ ∞ )时， f(x)min＝ f(a)＝ 2－ a2.(8 分 ) 要使 f(x)≥ a 恒成立，只需 f(x)min≥ a， 即 2－ a2≥ a(10 分 ) 解得－ 2≤ a≤ 1，即－ 1≤ a≤ 1.(11 分 ) 综上所述，实数 a 的取值范围为 [－ 3,1](12 分 ) 本题是利用函数的性质求解 恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值． 【试一试】 当 x∈ (1,2)时，不等式 x2＋ mx＋ 40 恒成立，则 m 的取值范围是________． 解析 法一 当 x∈ (1,2)时，不等式 x2＋ mx＋ 40 可化为： m－  x＋ 4x ， 又函数 f(x)＝－  x＋ 4x 在 (1,2)上递增， 则 f(x)－ 5， 则 m≤ － 5. 法二 设 g(x)＝ x2＋ mx＋ 4 当－ m2≤ 32，即 m≥ － 3 时， g(x)＜ g(2)＝ 8＋ 2m， 当－ m2＞ 32，即 m＜－ 3 时， g(x)＜ g(1)＝ 5＋ m 由已知条件可得：  m≥ － 3，8＋ 2m≤ 0， 或  m＜－ 3，5＋ m≤ 0. 解得 m≤ － 5 答案 (－ ∞ ，－ 5] 第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 【高考会这样考】 1．判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用． 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题． 基础梳 理 1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称． 2． 奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反． (2)在公共定义域内 ① 两个奇函数的和是 奇函数 ，两个奇函数的积是 偶函数 ； ② 两个偶函数的和、积都是 偶 函数 ； ③ 一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数． 3． 周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称． 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不 充分条件． 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x＝ 0 处有定义，则 f(0)＝ 0. (2)设 f(x)， g(x)的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇 奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 偶＝偶，奇 偶＝奇． 三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)性质法． 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝ f(2a＋ x)，则 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ a 对称． (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)，且 f(2b－ x)＝ f(x)(其中 a＜ b)，则： y＝ f(x)是以 2(b－ a)为周期的周期函数． (3)若 f(x＋ a)＝－ f(x)或 f(x＋ a)＝ 1fx或 f(x＋ a)＝－ 1fx，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T＝ 2a； (3)若 f(x＋ a)＝ f(x＋ b)(a≠ b)，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T＝ 2|a－ b|. 双基自测 1． (2020全国 )设 f(x)是周期为 2的奇函数，当 0≤ x≤ 1时， f(x)＝ 2x(1－ x)，则 f － 52＝ ( )． A.－ 12 B.－ 14 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，所以 f － 52 ＝－ f 52 ＝－ f 12 ＝－ A. 答案 A 2． (2020福州一中月考 )f(x)＝ 1x－ x 的图象关于 ( )． A． y 轴对称 B．直线 y＝－ x 对称 C．坐标原点对称 D．直线 y＝ x 对称 解析 f(x)的定义域为 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )，又 f(－ x)＝ 1－ x－ (－ x)＝－  1x－ x ＝－ f(x)，则 f(x)为奇函数，图象关于原点对称． 答案 C 3． (2020广东 )设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( )． A． f(x)＋ |g(x)|是偶函数 B． f(x)－ |g(x)|是奇函数 C． |f(x)|＋ g(x)是偶函数 D． |f(x)|－ g(x)是奇函数 解析 由题意知 f(x)与 |g(x)|均为偶函数， A 项：偶＋偶＝偶； B 项：偶－偶＝偶，B 错； C 项与 D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选 A. 答案 A 4． (2020福建 )对于函数 f(x)＝ asin x＋ bx＋ c(其中， a， b∈ R， c∈ Z)，选取 a， b，c 的一组值计算 f(1)和 f(－ 1)，所得出的正确结果一定不可能是 ( )． A． 4 和 6 B． 3 和 1 C． 2 和 4 D． 1 和 2 解析 ∵ f(1)＝ asin 1＋ b＋ c， f(－ 1)＝－ asin 1－ b＋ c 且 c∈ Z， ∴ f(1)＋ f(－ 1)＝ 2c是偶数，只有 D 项中两数和为奇数，故不可能是 D. 答案 D 5． (2020浙江 )若函数 f(x)＝ x2－ |x＋ a|为偶函数，则实数 a＝ ________. 解析 法一 ∵ f(－ x)＝ f(x)对于 x∈ R 恒成立， ∴ |－ x＋ a|＝ |x＋ a|对于 x∈ R 恒成立，两边平方整理得 ax＝ 0 对于 x∈ R 恒成立，故 a＝ 0. 法二 由 f(－ 1)＝ f(1)， 得 |a－ 1|＝ |a＋ 1|，得 a＝ 0. 答案 0 考向一 判断函数的奇偶性 【例 1】 ►下列函数： ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1； ② f(x)＝ x3－ x； ③ f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)； ④ f(x)＝3x－ 3－ x2 ； ⑤ f(x)＝ lg1－ x1＋ 中奇函数的个数是 ( )． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 [审题视点 ] 利用函数奇偶性的定义判断． 解析 ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1的定义域为 {－ 1,1}，又 f(－ x)＝ 177。 f(x)＝ 0， 则 f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1是奇函数，也是偶函数； ② f(x)＝ x3－ x 的定义域为 R， 又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ (x3－ x)＝－ f(x)， 则 f(x)＝ x3－ x 是奇函数； ③ 由 x＋ x2＋ 1x＋ |x|≥ 0 知 f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)的定义域为 R， 又 f(－ x)＝ ln(－ x＋ － x2＋ 1)＝ ln 1x＋ x2＋ 1＝ － ln(x＋ x2＋ 1)＝－ f(x)， 则 f(x)为奇函数； ④ f(x)＝ 3x－ 3－ x2 的定义域为 R， 又 f(－ x)＝ 3－ x－ 3x2 ＝－3x－ 3－ x2 ＝－ f(x)， 则 f(x)为奇函数； ⑤ 由 1－ x1＋ x0 得－ 1x1， f(x)＝ ln1－ x1＋ x的定义域为 (－ 1,1)， 又 f(－ x)＝ ln1＋ x1－ x＝ ln 1－ x1＋ x － 1＝－ ln1－ x1＋ x＝－ f(x)， 则 f(x)为奇函数． 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是： (1)求函数的定义域； (2)证明 f(－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝－ f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断． 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 4－ x2|x＋ 3|－ 3； (2)f(x)＝ x2－ |x－ a|＋ 2. 解 (1)解不等式组  4－ x2≥ 0，|x＋ 3|－ 3≠ 0， 得－ 2≤ x0，或 0x≤ 2， 因此函数 f(x)的定义域是 [－ 2,0)∪ (0,2]， 则 f(x)＝ 4－ x2x . f(－ x)＝ 4－ － x2－ x ＝－4－ x2x ＝－ f(x)， 所以 f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是 (－ ∞ ，＋ ∞ )． 当 a＝ 0 时， f(x)＝ x2－ |x|＋ 2， f(－ x)＝ x2－ |－ x|＋ 2＝ x2－ |x|＋ 2＝ f(x)． 因此 f(x)是偶函数； 当 a≠ 0 时， f(a)＝ a2＋ 2， f(－ a)＝ a2－ |2a|＋ 2， f(－ a)≠ f(a)，且 f(－ a)≠ － f(a)． 因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数． 考向二 函数奇偶性的应用 【例 2】 ►已知 f(x)＝ x 12x－ 1＋ 12 (x≠ 0)． (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)证明： f(x)＞ 0. [审题视点 ] (1)用定义判断或用特值法否定； (2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定义域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ ) ∵ f(x)＝ x 12x－ 1＋ 12 ＝ x22x＋ 12x－ 1. ∴ f(－ x)＝ － x2 2－ x＋ 12－ x－ 1＝x22x＋ 12x－ 1＝ f(x)． 故 f(x)是偶函数． 法二 f(x)的定义域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )， ∵ f(1)＝ 32， f(－ 1)＝ 32， ∴ f(x)不是奇函数． ∵ f(x)－ f(－ x)＝ x 12x－ 1＋ 12 ＋ x 12－ x－ 1＋ 12 ＝ x 12x－ 1＋ 2x1－ 2x＋ 1 ＝ x1－ 2x2x－ 1＋ 1 ＝ x(－ 1＋ 1)＝ 0， ∴ f(－ x)＝ f(x)， ∴ f(x)是偶函数． (2)证明 当 x＞ 0 时， 2x＞ 1,2x－ 1＞ 0， 所以 f(x)＝ x 12x－ 1＋ 12 ＞ 0. 当 x＜ 0 时，－ x＞ 0，所以 f(－ x)＞ 0，又 f(x)是偶函数， ∴ f(－ x)＝ f(x)，所以 f(x)＞ 0. 综上，均有 f(x)＞ 0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．。