关于幂零矩阵的几个注记(编辑修改稿)

关于幂零矩阵的几个注记(编辑修改稿)内容摘要：

引理 8 如果 A 是 一个 nn 矩阵 ， rank( ) 1A  时 ， 则 （ 1）1212( , , , )nnaaA b b ba； （ 2） 2A kA ． 证明 （ 1） 因为 rank( ) 1A  ， 所以 存在可逆矩阵 ,PQ使得 1000PAQ ， 即 1 1 1 111 0 0 ( 1 , 0 , , 0)000A P Q P Q   ， 若记121100 naaPa ， 1 12(1 , 0 , , 0) ( , , , )nQ b b b ，则1212( , , , )nnaaA b b ba． （ 2）由（ 1）所证，记1niiik ab，则 6 1 1 12 2 221 2 1 2 1 21( , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , )nn n i i nin n na a aa a aA b b b b b b a b b b ba a a                               1212( , , , )nnaak b b b kAa． 引理 9[2] 对任何 n 阶矩阵 ,AB，有 tr( ) 0AB BA． 3 几个注记 n 幂零矩阵的一个命题 在 本节，我们将把引言部分题目中蕴涵的结论进行推广，给出一个 一般性命题 ： 定理 1 设 A 是 n 阶矩阵， 1 是 n 维非零列向量，如果 0nA ， 1 0nA  ，并且线性方程组 1 1nAx  有解，则 （Ⅰ）对任一 1 in ，线性方程组 1iAx 均有解； （Ⅱ）记 1iAx 的任一解为 1i ， 1, 2, , 1in，那么 12, , , n   线性无关． 证明 （Ⅰ）根据题设 ， 线性方程组 1 1nAx  有解，设  为它的一个解，即 1 1nA   ．则对 1 in ，由 1 1()i n iAA   ，知 1niA  是线性方程组 1iAx 的一个解； （Ⅱ） 根据（Ⅰ）中的 11 0nA，由引理 3 得 2 2 1, , , , ,nnA A A A    线性无关． 首先考虑线性方程组 1Ax 的通解：由引理 4 知 rank( ) 1An，由于 2nA是它的一个特解，而 1nA 是齐次线性方程组 0Ax 的一个非零解，它构成 0Ax的一个基础解系，故线性方程组 1Ax 的任一解 2 可表为形式 7 122 21 nnk A A   再考虑线性方程组 2 1Ax 的通解：由 2rank( ) 2An，由于 3nA 是它的一个特解，而 12,nnAA是齐次线性方程组 2 0Ax 的一个线性无关的解，它构成2 0Ax 的一个基础解系，故线性方程组 2 1Ax 的任一解 3 可表为形式 1 2 33 31 32n n nk A k A A        类似的，有 1 2 3 44 4 1 4 2 4 3n n n nk A k A k A A          ， „，„，„，„，„，„，„ 121 2 , 1nnn n n n nk A k A k A          由于 12, , , ,nnA A A    线性无关，由引理 5 即得 12, , , n   也线性无关． 注 1 根据 定理 1 及证明，该类解答题的制作思路是：取 1 1000nEA P P  ，其中 P 为任意可逆矩阵，而 1 为矩阵 1 1000EPP的所有列向量的线性组合 ，它们就可以保证定理 1 中的线性方程组有解，且 12, , , n   线性无关． 幂零矩阵的伴随阵 问题 在《数学研究与评论》期刊 2020 年第 2 期 发表了 贾利新博士 的 “ Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文 ， 该文证明了任何 m 幂零阵的伴随矩阵或者是 2幂零阵，或者是零矩阵 ． 即下面的 定理 2[3] 设 nnAC。