全矩阵环的一类基(编辑修改稿)

全矩阵环的一类基(编辑修改稿)内容摘要：

jij  ． 定义 1[1,2] 一个映射 f : n n n nPP 称为一个乘法映射（或称 f 保持乘法）．如果 ( ) ( ) ( )f AB f A f B ， ,ABnnP ． 定义 2[1,2] 一个乘法映射  : n n n nPP 被称为是保谱的，若 S pe c ( ( )) S pe c ( )AA  . 其中 Spec( )A 是 A 的所有的特征值的集合． 定义 3[2] 一个乘法映射  : n n n nPP 是一个保迹的乘法映射，若 ()tr A trA  ． 定义 4 称 A 为幂零矩阵，如果 0kA ， kN ， nnAP ． 引理 1 全矩阵环的一组基 ijE ( , 1, 2, , )i j n 满足 ij kl jk ilE E E ，这里 jk 表示 Kronecker 符号． 证明 当 jk 时 , ( 39。 ) ( 39。 ) 1 39。 ij jl i j j l i l ilE E e e e e e e E    . 当 jk 时 , ( 39。 ) ( 39。 ) ( 39。 ) 39。 0 39。 k l i j k l i j k l i lE E e e e e e e e e e e      下面给出引理 1 的逆命题 ： 引理 2 设有 2n 个 nn 矩阵 ijF nnP , ( , 1, 2, , )i j n ，满足 4 i j kl jk ilF F F (1) 则所有ijF ( , 1, 2, , )i j n 或者全为零，或者全不为零． 证明 若存在某 0stF ( ,st N )，则对 , 1, 2, ,i j n ，有 0 j i s s t t j i s t jF F F F F F       证毕． 引理 3 满足 1 的非零矩阵 ijF ( , 1, 2, , )i j n 是 nnP 的一组基． 证明 若11 0.nni j i jijkF  ,ijkR , 1, 2, , .i j n (2) 2 式两边同时左乘 ssF , 右乘 ttF 得 11 0.nnij ss ij ttij k F F F  , 1,2, , .s t n (3) 当    ,i j s t 时，有 i j ttF F F  因此 (3) 式等价于 stkF 即 。