全国名校高中数学题库--椭圆(编辑修改稿)

全国名校高中数学题库--椭圆(编辑修改稿)内容摘要：

∵ BFCFAF 2 ，且59BF， ∴ 518545545 21    xx， 即 821 xx ． （ 2）因为线段 AC 的中点为  24 21 yy，所以它的垂直平分线方程为  42 21 2121  xyy xxyyy． 又∵点 T 在 x 轴上，设其坐标为  00，x ，代入上式，得  2122210 24 xx yyx  又∵点  11 yxA ， ，  22 yxB ， 都在椭圆上， ∴  2121 25259 xy   2222 25259 xy  ∴   21212221 259 xxxxyy ． 将此式代入①，并利用 821 xx 的结论得 253640 x ∴ 4540590 xkBT ． 15 / 41 典型例题五 例 5 已知椭圆 134 22 yx ， 1F 、 2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 M ，使 M 到左准线 l 的距离 MN 是 1MF 与 2MF 的等比中项。 若存在，则求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解： 假设 M 存在，设  11 yxM ， ，由已知条件得 2a ， 3b ，∴ 1c ， 21e ． ∵左准线 l 的方程是 4x ， ∴ 14 xMN  ． 又由焦半径公式知： 111 212 xexaMF ， 112 212 xexaMF ． ∵ 212 MFMFMN  ， ∴      1121 2122124 xxx． 整理得 048325 121  xx ． 解之得 41 x 或 5121 x． ① 另一方面 22 1  x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点 M 不存在． 说明： （ 1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （ 2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据 已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （ 3）本例也可设   sin3cos2 ，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 典型例题六 16 / 41 例 6 已知椭圆 12 22 yx，求过点  2121，P且被 P 平分的弦所在的直线方程． 分析一： 已知一点求直线，关键是求 斜率，故设斜率为 k ，利用条件求 k ． 解法一： 设所求直线的斜率为 k ，则直线方程为   2121 xky．代入椭圆方程，并整理得     023212221 2222  kkxkkxk ． 由韦达定理得2221 21 22 k kkxx  ． ∵ P 是弦中点，∴ 121 xx ．故得 21k ． 所以所求直线方程为 0342  yx ． 分析二： 设弦两端坐标为  11 yx， 、  22 yx， ，列关于 1x 、 2x 、 1y 、 2y 的方程组，从而求斜率：2121 xx yy ． 解法二： 设过  2121，P的直线与椭圆交于  11 yxA ， 、  22 yxB ， ，则由题意得 ④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，， ①－②得 02 22212221  yyxx ． ⑤ 将③、④代入⑤得2121 21 xx yy，即直线的 斜率为 21 ． 所求直线方程为 0342  yx ． 说明： （ 1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． 17 / 41 （ 2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （ 3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用． 典型例题七 例 7 求适合条件的椭圆的标准方程． （ 1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点  62， ； （ 2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6． 分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如（ 1）题中由 12222 byax 求出 1482a ，372b ，在得方程 137148 22  yx 后，不能依此写出另一方程 137148 22 xy ． 解： （ 1）设椭圆的标准方程为 12222 byax 或 12222 bxay ． 由已知 ba 2 ． ① 又过点  62， ，因此有   162 2 222  ba 或   126 222 2  ba ． ② 由①、②，得 1482a ， 372b 或 522a ， 132b ．故所求的方程为 137148 22  yx 或 11352 22 xy ． （ 2）设方程为 12222 byax ．由已知， 3c ， 3cb ，所以 182a ．故所求方程为 1918 22 yx ． 说明： 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 12222 byax 或 12222 bxay ． 18 / 41 典型例题八 例 8 椭圆 11216 22 yx 的右焦点为 F ，过点  31，A ，点 M 在椭圆上，当 MFAM 2为最小值时，求点 M 的坐标． 分析： 本题的关键是求出离心率21e，把 MF2 转化为 M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求 MFeAM 1均可用此法． 解： 由已知： 4a ， 2c ．所以 21e ，右准线8xl： ． 过 A 作 lAQ ，垂足为 Q ，交椭圆于 M ，故MFMQ 2 ．显然 MFAM 2 的最小值为 AQ ，即 M为所求点，因此 3My ，且 M 在椭圆上．故 32Mx ．所以  332 ，M ． 说明： 本题关键在于未知式 MFAM 2 中的“ 2”的处理．事实上，如图， 21e ，即 MF 是 M 到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点 M ，使 M到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值． 典型例题九 例 9 求椭圆 13 22 yx 上的点到直线 06yx 的距离的最小值． 分析： 先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解： 椭圆的参数方程为 .sincos3 yx ，设椭圆上的点的坐标为   sincos3 ， ，则点到直线的距离为 263s i n226s i nc o s3   d ． 19 / 41 当 13sin  时， 22最小值d ． 说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程． 典型例题十 例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 23e ，已知点  230，P到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 P 的距离等于 7的点的坐标． 分析： 本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 d 的最大值时，要注意讨论 b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善 于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力． 解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是 12222 byax ，其中 0ba 待定． 由22222222 1 aba baace  可得 214311 2  eab，即 ba 2 ． 设椭圆上的点  yx， 到点 P 的距离是 d ，则 493123 2222222    yybyayxd 3421349334 2222   byyyb 其中 byb  ． 如果 21b ，则当 by  时， 2d （从而 d ）有最大值． 由题设得   22237   b，由此得 21237 b ，与 21b 矛盾． 20 / 41 因此必有21b成立，于是当21y时， 2d （从而 d ）有最大值． 由题设得   347 22  b ，可得 1b ， 2a ． ∴所求椭圆方程是 114 22 yx ． 由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点   213，点  213，到点 230，P 的距离是 7 ． 解法二： 根据题设条件，可取椭圆的参数方程是  sincosby ax，其中 0ba ，待定， 20  ，  为参 数． 由 2222222 1  aba baace可得 214311 2  eab，即 ba 2 ． 设椭圆上的点  yx， 到点  230，P的距离为 d ，则 22222223s i nc os23     bayxd 49s in3s in34 222   bbb 3421s in3 222   bbb  如果 121b ，即 21b ，则当 1sin  时， 2d （从而 d ）有最大值． 由题设得   22237   b，由此得 21237 b ，与 21b 矛盾，因此必有 121b成立． 于是当 b21sin  时 2d （从而 d ）有最大值． 由题设知   347 22  b ，∴ 1b ， 2a ． 21 / 41 ∴所求椭圆的参数方程是  sincos2yx． 由21sin ， 23cos  ，可得椭圆上的是   213，  213，． 典型例题十一 例 11 设 x ， Ry ， xyx 632 22  ，求 xyx 222  的最大值和最小值． 分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程 xyx 632 22  与椭圆方程的结构一致．设 mxyx  222 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值． 解： 由 xyx 632 22  ，得 123492322 yx 可见它表示一个椭圆，其中心在  023，点，焦点在 x 轴上，且过（ 0， 0）点和（ 3， 0）点． 设 mxyx  222 ，则   11 22  myx 它表示一个圆，其圆心为（－ 1， 0）半径为  11  mm ． 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（ 0， 0）点时，半径最小，即 11m ，此时 0m ；当圆过（ 3， 0）点时，半径最大，即 41m ，∴ 15m ． ∴ xyx 222  的最小值为 0，最大值为 15． 22 / 41 典型例题十二 例 12 已知椭圆  012222  babyaxC ： ， A 、 B 是其长轴的两个端点． （ 1）过一个焦点 F 作垂直于长轴的弦 P ，求证：不论 a。