全国各地20xx年中考数学试题解析159套63专题专题59_新定义和跨学科问题(编辑修改稿)

全国各地20xx年中考数学试题解析159套63专题专题59_新定义和跨学科问题(编辑修改稿)内容摘要：

【考点】 新定义，旋转的性质，矩形的性质，含 300角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方。 【分析】 （ 1）根据题意得： △ABC∽△AB′C′ ， ∴S △AB′C′ ： S△ABC =  2 2AB = 3 3AB ， ∠ B=∠B′。 ∵∠ANB=∠B′NM ， ∴∠BMB′=∠BAB′=60176。 （ 2）由四边形 ABB′C′ 是矩形，可得 ∠BAC′=90176。 ，然后由 θ=∠CAC′=∠BAC′ ∠BAC ，即可求得 θ 的度数，又由含 30176。 角的直角三角形的性质，即可求得 n的值。 （ 3）由四边形 ABB′C′ 是平行四边形，易求得 θ=∠CAC′=∠ACB=72176。 ，又由 △ABC∽△B′BA ，根据相似三角形的对应边成比例，易得 AB2=CB•BB′=CB （ BC+CB′ ），继而求得答案。 4. （ 2020浙江 台州 14分 ） 定义： P、 Q分别是两条线段 a和 b上任意一点，线段 PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离 . 已知 O(0， 0)， A(4， 0)， B(m， n)， C(m+4， n)是平面直角系中四点 . （ 1）根据上述定义，当 m=2， n=2时，如图 1，线段 BC与线段 OA的距离是 _____, 当 m=5， n=2时，如图 2，线段 BC与线段 OA的距离 (即线段 AB的长 )为 ______ （ 2）如图 3，若点 B落在圆心为 A，半径为 2的圆上，线段 BC与线段 OA的距离记为 d，求 d关于 m的函数解析式 . （ 3）当 m的值变化时，动线段 BC 与线段 OA的距离始终为 2，线段 BC的中点为 M. ① 求出点 M随线段 BC运动所围成的封闭图形的周长。 ② 点 D的坐标为 (0， 2)， m≥0 ， n≥0 ，作 MH⊥x 轴 ,垂足为 H，是否存在 m的值，使以 A、 M、 H为顶点的三角形与 △AOD 相似，若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由 . 【答案】解：（ 1） 2； 5。 （ 2） ∵ 点 B落在圆心为 A，半径为 2的圆上， ∴2≤m≤6。 当 4≤m≤6 时，根据定义， d=AB=2。 当 2≤m ＜ 4时，如图，过点 B作 BE⊥OA 于点 E， 则根据定义， d=EB。 ∵A(4 ， 0)， B(m， n)， AB=2， ∴EA=4 － m。 ∴ 2 2 2 2d E B A B E A 2 4 m    （ － ） 2m 8m 12   。 ∴   2m 8m 12 2 m 4d2 4 m 6     。 （ 3） ① 如图，由（ 2）知，当点 B在 ⊙O 的左半圆时， d=2 ，此时，点 M是圆弧 M1M2，长 2π ； 当点 B从 B1到 B3时， d=2 ，此时，点 M是线段 M1M3，长为 8； 同理，当点 B在 ⊙O 的左半圆时，圆弧 M3M4长 2π ；点 B从 B2到 B4时，线段 M1M3=8。 ∴ 点 M随线段 BC运动所围成的封闭图形的周长为 16+4π。 ② 存在。 如图，由 A(4， 0)， D(0， 2), 得 OD 2 1OA 4 2。 （ i） ∵M 1H1=M2H2=2， ∴ 只要 AH1=AH2=1, 就有 △AOD∽△M 1H1A 和△AOD∽△M 2H2A，此时 OH1=5， OH2=3。 ∵ 点 M为线段 BC的中点 , BC=4， ∴OH 1=5时， m=3； OH2=3时， m=1。 （ ii）显然，当点 M3与点 D重合时， △AOD∽△AH 3M3，此时 m=－ 2, 与题设 m≥0 不符。 （ iii）当点 M4右侧圆弧上时，连接 FM4，其中点 F是圆弧的圆心，坐标为（ 6， 0）。 设 OH4=x, 则 FH4= x－ 6。 又 FM4=2， ∴   22 2 24 4 4 4M H F M F H 4 x 6 = x + 1 2 x 3 2      。 若 △AOD∽△A H 2M2，则 4244AH x 4 2=M H 1x + 1 2 x 3 2 ,即 23x 32x+80=0 , 解得1220x = x =43 ，（不合题意，舍去）。 此时 m=143。 若 △AOD∽△M 2H2 A，则 4244AH x 4 1=M H 2x + 1 2 x 3 2 ,即 25x 44x+96=0 , 解得1224x = x =45 ，（不合题意，舍去）。 此时1 2 4 6x 6 = 6 = 055  ,点 M4在圆弧的另一半上，不合题意，舍去。 综上所述，使以 A、 M、 H为顶点的三角形与 △AOD 相似的 m的值为： m=1， m=3， m=143。 【考点】 新定义，点到直线的距离，两平行线间的距离，勾股定理，求函数关系式，图形的平移性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】 （ 1）根据定义，当 m=2， n=2时，线段 BC与线段 OA的距离是点 A到 BC的距离 2。 当 m=5， n=2时，线段 BC与线段 OA的距离 (即线段 AB的长 ) 可由勾股定理求出：  2 25 4 + 2 5。 （ 2）分 2≤m ＜ 4和 4≤m≤6 两种情况讨论即 可。 （ 3） ① 由（ 2）找出点 M随线段 BC运动所围成的封闭图形即可。 ② 由（ 2）分点 M在线段上和圆弧上两种情况讨论即可。 5. （ 2020浙江绍兴 10分） 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P为 △ABC 的准外心。 应用：如图 2， CD为等边三角形 ABC的高，准外心 P在高 CD 上，且 PD=12 AB，求 ∠APB 的度数。 探究：已知 △ABC 为直角三角形，斜边 BC=5， AB=3，准外心 P在 AC边上，试探究 PA的长。 6. 1. （ 2020 江苏常州 7分） 平面上两条直线 AB、 CD相交于点 O，且 ∠BOD=150 0（如图），现按如下要求规定此平面上点的 “ 距离坐标 ” ： （ 1）点 O的 “ 距离坐标 ” 为（ 0， 0）； （ 2）在直线 CD上，且到直线 AB的距离为 p（ p＞ 0）的点的 “ 距离坐标 ” 为（ p， 0）；在直线 AB上，且到直线 CD的距离为 q（ q＞ 0）的点的 “ 距离坐标 ” 为（ 0， q）； （ 3）到直线 AB、 CD 的距离分别为 p、 q（ p＞ 0， q＞ 0）的点的 “ 距离坐标 ” 为（ p， q）。 设 M为此平面上的点，其 “ 距离坐标 ” 为（ m， n），根据上述 对点的 “ 距离坐标 ” 的规定，解决下列问题： （ 1）画出图形（保留画图痕迹）： ① 满足 m=1且 n=0的点的集合； ② 满足 m=n的点的集合； （ 2）若点 M在过点 O且与直线 CD 垂直的直线 l上，求 m与 n所满足的关系式。 （说明：图中 OI长为一个单位长） 【答案】 解：（ 1） ① 如图 1中， F1， F2即为所求； ② 如图 2中，两条角平分线即为所求。 （ 2）如图 3，过点 M作 MH⊥AB 于点 H。 则 根据定义， MH=m， MO=n。 ∵∠BOD=150 0， ∠DOM=90 0（ ∵l⊥CD ）， ∴ ∠HOM=60 0。 在 Rt△MHO 中， MHsin HOM MO， ∴ 0 msin60 n ，即 3m2n ，即 2m 3n。 ∴ m 与 n所满足的关系式为 2m 3n。 【考点】 新定义，作图（复杂作图），含 300角直角三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】 （ 1） ① 以点 I为圆心， OI为半径画圆交 AB于 点 E；以点 O为圆心， OE为半径画圆交 CD于点 F1，F2，则 F1， F2即为所求。 由作法知， OF1=2OI=2，由 ∠BOD=150 0 知 ∠EOF 1=300，根据含 300 角直角三角形中 300角所对边是斜边一半的性质，得点 F1到 AB的距离 m =1，同时点 F1在 CD上，即 n=0。 同理， F2的证明。 ② 分别作 ∠BOD 和 ∠BOC 的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，两角平分线上的点满足 m=n，故两条角平分线即为所求。 （ 2）由已知和锐角三角函数定义即可得出 m与 n所满足的关系式。 7. （ 2020江苏无锡 8分） 对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），我们把 |x1﹣ x2|+|y1﹣ y2|叫做 P P2两点间的直角距离，记作 d（ P1， P2）． （ 1）已知 O为坐标原点，动点 P（ x， y）满足 d（ O， P） =1，请写出 x与 y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P所组成的图形； （ 2）设 P0（ x0， y0）是一定点， Q（ x， y）是直线 y=ax+b上的动点，我们把 d（ P0， Q）的最小值叫做 P0到直线 y=ax+b的直角距离．试。