全国各地20xx年中考数学分类解析159套63专题_专题31_折叠问题(编辑修改稿)

全国各地20xx年中考数学分类解析159套63专题_专题31_折叠问题(编辑修改稿)内容摘要：

8. （ 2020湖北 荆州 3分） 如图，已知正方形 ABCD的对角线长为 2 ，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中阴影部分的周长为 ▲ 【答案】 8。 【考点】 翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。 【分析】 如图， ∵ 正方形 ABCD 的对角线长为 2 2 ，即 BD=2 2 ， ∠ A=90176。 ， AB=AD， ∠ ABD=45176。 ， ∴ AB=BD•cos∠ ABD=BD•cos45176。 =2 22 =22。 ∴ AB=BC=CD=AD=2。 由折叠的性质： A′M=AM， D′N=DN， A′D′=AD， ∴ 图中阴 影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。 9. （ 2020湖南岳阳 3分） 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。 ，沿 AD 折叠，使点 B 落在斜边 AC 上，若 AB=3，BC=4，则 BD= ▲ ． 【答案】 32。 【考点】 翻折变换（折叠问题）。 1052629 【分析】 如图，点 E 是沿 AD 折叠，点 B 的对应点，连接 ED， ∴∠ AED=∠ B=90176。 ， AE=AB=3， ∵ 在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。 ， AB=3， BC=4， ∴ 2 2 2 2A C= A B + B C 3 + 4 5。 ∴ EC=AC﹣ AE=5﹣ 3=2。 设 BD=ED=x，则 CD=BC﹣ BD=4﹣ x， 在 Rt△ CDE 中， CD2=EC2+ED2，即：（ 4﹣ x） 2=x2+4，解得： x= 32。 ∴ BD=32。 10. （ 2020 四川 达州 3 分） 将矩形纸片 ABCD，按如图所示的方式折叠，点 A、点 C 恰好落在对角线 BD 上，得到菱形 BC=6，则 AB 的长为 ▲ . 【答案】 23。 【考点】 翻折变换（折叠问题），折叠的性质，菱形和矩形的性质，勾股定理。 【分析】 设 BD 与 EF 交于点 O。 ∵ 四边形 BEDF 是菱形， ∴ OB=OD=12 BD。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ C=90176。 设 CD=x，根据折叠的性质得： OB=OD= CD=x，即 BD=2x， 在 Rt△ BCD 中， BC2+CD2=BD2，即 62+x2=（ 2x） 2，解得： x= 23。 ∴ AB=CD=23。 11. （ 2020 贵州黔西南 3 分） 把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF，若 AB＝ 3cm， BC＝ 5cm，则重叠部分 △ DEF 的面积为 ▲ cm 2。 【答案】 5110。 【考点】 折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。 【分析】 设 ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得 A′E=AE=5－ x， A′D=AB=3。 根据勾股定理，得 2 2 2ED A E A D   ，即  222x 5 x 3   ，解得 17x 5。 ∴DEF 1 17 51S 3=2 5 10   （ cm 2）。 12. （ 2020河南省 5分） 如图， 在 Rt△ ABC 中， ∠ C=900， ∠ B=300， BC=3，点 D 是 BC边上一动点（不与点 B、 C 重合），过点 D 作 DE⊥ BC 交 AB 边于点 E，将 ∠ B沿直线 DE 翻折，点 B 落在 射线 BC 上的点F 处，当 △ AEF 为直角三角形时， BD 的长为 ▲ 【答案】 1 或 2。 13. （ 2020 内蒙古 包头 3 分） 如图，将△ ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折，使点 A 落在 BC 边上的 A ′点处，且 DE∥ BC ，下列结论： ① ∠ AED＝ ∠ C； ② AD AE DB EC ； ③ BC= 2DE ； ④ B D A E A CA D A ES S S    四 形边。 其中正确结论的个数是 ▲ 个。 【答案 】 4。 【考点】 折叠问题，折叠对称的性质， 平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，三角形中位线定理，全等、相似三角形的判定和性质。 【分析】 ①∵ DE∥ BC，∴根据 两直线平行，同位角相等，得∠ AED＝ ∠ C。 ∴①正确。 ② ∵根据折叠对称的性质， A ′D=AD， A ′E=AE。 ∵ DE∥ BC，∴根据 两直线分线段成比例定理，得 AD AE DB EC。 ∴ AD AE DB EC。 ∴ ② 正确。 ③连接 A A ′， ∵根据折叠对称的性质， A ， A ′关于 DE 对称。 ∴ A A ′ ⊥ DE。 ∵ DE∥ BC， ∴ A A ′ ⊥ BC。 ∵ A ′D=AD， ∴ ∠ DA A ′ ＝ ∠ D A ′ A。 ∴ ∠ DB A ′ ＝ ∠ D A ′ B。 ∴ BD= A ′ D。 ∴ BD=AD。 ∴ DE 是△ ABC 的中位线。 ∴ BC= 2DE。 ∴③正确。 ④∵ DE∥ BC， ∴△ ABC∽ △ ADE。 ∵由③ BC= 2DE， ∴ADE ABC1SS4。 ∵根据折叠对称的性质， △ ADE≌ △ A′ DE。 ∴A B CA D A E 1SS2  四 形边。 ∴B D A E A C A B C1S S = S2    ，即 B D A E A CA D A ES S S    四 形边。 ∴④正确。 综上所述，正确结论的个数是 4 个。 14. （ 2020 黑龙江绥化 3分） 长为 20，宽为 a 的矩形纸片（ 10＜ a＜ 20） ，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度 的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当 n=3 时， a 的值为 ▲ . 【答案】 12 或 15。 【考点】 翻折变换（折叠问题） ，正方形和矩形的性质，剪纸问题，分类归纳（图形的变化类）。 【分析】 根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽。 当 10＜ a＜ 20 时，矩形的长为 20，宽为 a，所以， 第一次操作时，所得正方形的边长为 a，剩下的矩形相邻的两边分别为 20－ a， a。 第二次操作时，由 20－ a＜ a 可知所得正方形的边长为 20－ a，剩下的矩形相邻的两边分别为 20－ a， a－（ 20－ a） =2a－ 20。 ∵ （ 20－ a）－（ 2a－ 20） =40－ 3a， ∴ 20－ a 与 2a－ 20 的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论。 第三次操作时， ① 当 20－ a＞ 2a－ 20 时，所得正方形的边长为 2a－ 20， 此时， 20－ a－（ 2a－ 20） =40－ 3a， ∵ 此时 剩下的矩形为正方形， ∴ 由 40－ 3a=2a－ 20 得 a=12。 ① 当 2a－ 20＞ 20－ a 时，所得正方形的边长为 20－ a，此时， 2a－ 20－（ 20－ a） =3a－ 40， ∵ 此时 剩下的矩形为正方形， ∴ 由 3a－ 40=20－ a 得 a=15。 故答案为 12 或 15。 15. （ 2020黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3分） 如图所示，沿 DE 折叠长方形 ABCD 的 一边，使点 C 落在 AB 边上的点 F 处，若 AD=8，且 △ AFD 的面积为 60，则 △ DEC 的 面积为 ▲ 【答案】 2898。 【考点】 翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。 【分析】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A=∠ B=90176。 ， BC=AD=8， CD=AB。 ∵△ AFD 的面积为 60，即 12 AD•AF=60，解得： AF=15。 ∴ 2 2 2 2D F A D A F 8 1 5 1 7    。 由折叠的性质，得： CD=CF=17。 ∴ AB=17。 ∴ BF=AB－ AF=17－ 15=2。 设 CE=x，则 EF=CE=x， BE=BC－ CE=8－ x， 在 Rt△ BEF 中， EF2=BF2＋ BE2，即 x2=22＋（ 8－ x） 2，解得： x=174 ，即 CE=174 ， ∴△ DEC 的面积为： 12 CD•CE=12 1717 289=48。 三 、 解答 题 1. （ 2020天津 市 10分） 已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（ 11， 0），点 B（ 0， 6），点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、 C 重合），经过点 O、 P 折叠该纸片，得点 B′和折痕 OP．设 BP=t． （ Ⅰ ）如图 ① ，当 ∠ BOP=300 时，求点 P 的坐标； （ Ⅱ ）如图 ② ，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB′上，得点 C′和折痕 PQ，若 AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m； （ Ⅲ ）在（ Ⅱ ）的条件下，当点 C′恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】 解：（ Ⅰ ）根据题意， ∠ OBP=90176。 ， OB=6。 在 Rt△ OBP 中，由 ∠ BOP=30176。 ， BP=t，得 OP=2t。 ∵ OP2=OB2+BP2，即（ 2t） 2=62+t2，解得： t1=23， t2=－ 23（舍去）． ∴ 点 P 的坐标为（ 23 ， 6）。 （ Ⅱ ） ∵△ OB′P、 △ QC′P 分别是由 △ OBP、 △ QCP 折叠得到的， ∴△ OB′P≌△ OBP， △ QC′P≌△ QCP。 ∴∠ OPB′=∠ OPB， ∠ QPC′=∠ QPC。 ∵∠ OPB′+∠ OPB+∠ QPC′+∠ QPC=180176。 ， ∴∠ OPB+∠ QPC=90176。 ∵∠ BOP+∠ OPB=90176。 ， ∴∠ BOP=∠ CPQ。 又 ∵∠ OBP=∠ C=90176。 ， ∴△ OBP∽△ PCQ。 ∴ OB BPPC CQ。 由题意设 BP=t， AQ=m， BC=11， AC=6，则 PC=11－ t， CQ=6－ m． ∴ 6t11 t 6 m。 ∴ 21 11m t t 666  （ 0＜ t＜ 11）。 （ Ⅲ ）点 P 的坐标为（ 11 133 ， 6）或（ 11+133 ， 6）。 【考点】 翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】 （ Ⅰ ）根据题意得， ∠ OBP=90176。 ， OB=6，在 Rt△ OBP 中，由 ∠ BOP=30176。 ， BP=t，得 OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （ Ⅱ ）由 △ OB′P、 △ QC′P分别是由 △ OBP、 △ QCP 折叠得到的，可知 △ OB′P≌△ OBP， △ QC′P≌△ QCP，易证得 △ OBP∽△ PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。 （ Ⅲ ）首先过点 P 作 PE⊥ OA 于 E，易证得 △ PC′E∽△ C′QA，由勾股定理可求得 C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与 21 11m t t 666  ，即可求得 t 的值： 过点 P 作 PE⊥ OA于 E， ∴∠ PEA=∠ QAC′=90176。 ∴∠ PC′E+∠ EPC′=90176。 ∵∠ PC′E+∠ QC′A=90176。 ， ∴∠ EPC′=∠ QC′A。 ∴△ PC′E∽△ C′QA。 ∴ PE PCAC CQ。 ∵ PC′=PC=11－ t， PE=OB=6， AQ=m， C′Q=CQ=6－ m， ∴ 22A C C Q A Q 3 6 1 2 m     。 ∴ 6 11 t 6 m36 12m  。 ∵ 6t11 t 6 m，即 6 11 tt 6 m  ， ∴ 66=t36 12m，即 236 12m=t。 将 21 11m t t 666  代入，并化简，得 23t 22 t 36=0。 解得：121 1 1 3 1 1 + 1 3tt33。 ∴ 点 P 的坐标为（ 11 133 ， 6）或（ 11+133 ， 6）。 2. （ 2020海南省 11 分） 如图（ 1），在矩形 ABCD中，把 ∠ B、 ∠ D分别翻折，使点 B、 D分别落在对角线BC 上的点 E、 F 处，折痕分别为 CM、 AN. （ 1）求证： △ AND≌△ CBM. （ 2）请连接 MF、 NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗。 请说明理由。 （ 3） P、 Q是矩形的边 CD、 AB 上的两点，连结 PQ、 CQ、 MN，如图（ 2）所示，若 PQ。