亚正定变换研究(编辑修改稿)

亚正定变换研究(编辑修改稿)内容摘要：

（ 2） 当且仅当 ,线性相关时，等号才成立 . 证明 当 0 时 ,(2)式显然成立 ,以下讨论 0 的情况 : 因为  为亚正定变换，则对 , , 0V    ， tR ，有 ( ( ), ) 0tt       展开，得 2( , ) [ ( , ) ( , ) ] ( , ) 0tt               （ 3） 由于  为亚正定变换， 0 ，故 ( , ) 0   ， （ 3）式为二次式，故判别式 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , ) 0                即得 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )            （ 4） 当 ,线性相关时 ,等号显然成立 .反过来如果等号成立 ,由上面证明过程可以看出 ,或者 0 ,也就是说 ,线性相关 .定理 5得证 . 推论 1 设 V 是一个欧氏空间，则对 V 中任意向量 ,，有 2( , ) ( , )( , )      5 当且仅当 ,线性相关时 ,等号才成立 . 证明 用  表示恒等变换，则对 V， 0 ，有 ()  ，故 ( ( ), ) ( , ) 0     即  是亚正定变换，在定理 5中，当亚正定变换取恒等变换  时，有 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )        即得 2( , ) ( , )( , )      . 以上结果表明，定理 5是 Cauchy不等式的一个推广 . 2 正规变换与正定变换 定义 4 设  为 n 维 欧氏空间 V 的一个亚正定变换，且是一个对称变换，则称  是 V 的一个正定变换 . 定义 5 设  为 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换， 39。  为  的共轭变换 ,若39。 39。    ,则称  为正规变换 . 定理 6  为 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换 , 为亚正定变换的充分必要条件是 39。  为正定变换 . 证明 令  为欧氏空间 V 的一个线性变换， 12, , , n   为一组标准正交基，设  在 12, , , n   下的矩阵为 A ， 则 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A      ，从而 1 2 1 239。 ( , , .. ., ) ( , , .. ., ) 39。 nn A       根据  的定义有 1212( , , , )nnxxAx    且 121239。 ( , , , ) 39。 nnxxAx     6 令12nxxXx,从而 ( , ) 39。 ( 39。 ) 39。 39。 39。 X AX X AX X A X     , ( 39。 , ) 39。 39。 X A X    故 39。 ( , ) ( , )     （ 5） 令 12( , )n Y    ，这里12nyyYy 则 12( 39。 ) ( , , , ) ( 39。 )n A A X        12( 39。 ) ( , , , ) ( 39。 )n A A Y  。