中国人口增长预测模型研究(编辑修改稿)

中国人口增长预测模型研究(编辑修改稿)内容摘要：

过详细的 数学推导，得到一个偏微分方程，通过 此 方程可以综合考虑各因素对人口增长的影响。 模型的建立 设 (, )Frt 为 人口函数 ， 该函数表示在 t 时刻该地区一切年龄小于 r 的人数 ， 显然有，当21rr 时， 21( , ) ( , )F r t F r t。 设 (, )Prt 为 人口年龄分布密度函数 ， ( , ) FP r t r  ， 该函数表示在 t 时刻，年龄为 r 的人数。 显然有： ( , ) 0Pr t  ( , ) 0mP r t  0( , ) ( , )rF r t P t d  00( , ) ( , ) ( , ) ( )mrmF r t P t d P t d N t      t 时刻年龄在 1r 到 2r 之间的人口为： 2121( , ) ( , ) ( , )rrF r t F r t P t d  13 t 时刻年龄 在 [ , ]r r r 的人数为 ( , )Prt r 过了 t 时间后，死亡人数为： ( , ) ( , )r t P r t r t  另一部分没有死，他们活到了 tt 时刻，此时他们的年龄处于区间 [ , ]r r r r r     ，显然有 rt  即在 tt 时刻，年龄在 [ , ]r r r r r     中的人口数为： ( , )P r r t t r     于是 有 下式 成立 ： ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r t r P r r t t r r t P r t r t          可写成： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r r t t r P r t t r P r t t r P r t r r t P r t r t                   两边同除以 rt，于是： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r r t t P r t t P r t t P r t r t P r trt             取极限： ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r t P r t r t P r trt    （ ） 初始条件： 0( ,0) ( )P r P r 0()Pr为初始时刻的人口密度 边界条件： ( 0 , ) ( ) ( ) ( )P t t t N t ()t 为相对出生率 综上便得到了人口 增长 的微分方程模型 ： 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , 0) ( )( 0 , ) ( ) ( ) ( )P r t P r t r t P r trtP r P rP t t t N t       （ ） 现在对 ( ,0)Pr 和 (, )rt 进行拟合 ，以 2020 年为第 0 年，将 2020 年 0 岁到 90+的人口分布为样本数据，用 SPSS 软件进行数据分析和曲线拟合，发现三次曲线比其它曲线拟合优度高，所以用三次曲线作为 ( ,0)Pr 的拟合曲线，结果为： 2 5 3( , 0) 67 6 02 10P r r r r     （ ） 考虑 在一个稳定的社会 中，与年龄有关的死亡率可以认为 与时间无关 ，同上，将 2020 14 年 0 岁到 90+的死亡率 为样本数据，用 SPSS 软件进行数据分析和曲线拟合，发现指数曲线拟合效果比较好，分析参数得到： 0. 071( ) rre  （ ） 同时，对 原始 数据进行 处理得到： ( ) (0 , ) 1. 06 6t P t  将以上三式代入 （ ） 式，得到人口分布函数为： 0 .0 7 10 .0 7 100. 03 92 5 30. 03 9( 0 .4 6 7 0 .0 6 0 .0 0 2 1 .5 1 0 ) 0( , )1 .0 6 6rrtrededr r r e t rP r te r t         （ ） 则 人口分布函数： 0( , ) ( , )rF r t P t d  取 65 60r 或 时，即可看出中国老龄化情况。 实际上， 若要通过解析解进行预测是不易实现 的，所以可以选择采用数值解法。 具体 影响因素 的 补充 方程 1． 流动人口迁移问题 ( , )m r t r t 表示年龄在 [ , ]r r r 中的人，在 [ , ]t t t 得移入数，则： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r t P r t r t P r t m r trt      （ ） 2． 人口 老 龄化问题 社会人口的平均年龄： 0 ( , )()()mr rP r t drAtNt  定义老龄化指数： ()()()Att Dt  3．生育模式问题 首先设 12[ , ]rr 为妇女 育龄 年龄 区 ， 那么在 t 时刻，出生的婴儿总数为 ： 21( ) ( , ) ( , ) ( , )rrf t b r t k r t P r t d r  令 ： ( , ) ( ) ( , )b r t t h r t （ ） 其中， 21 ( , ) 1rr h r t dr  由 （ ） 式 有 ： 2 2 21 1 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )r r rr r rb r t d r t h r t d r t h r t d r t     其中， )(t 表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率 （可控变量）。 15 它反映了人口变化的基本因素 ； (, )hrt 表示 一个女性在 r 岁时的生育概率。 如果 ()t ， k(r,t) ， (, )hrt 都与时间无关，则： 2211( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )rrf t t h r t k r t P r t d r h r k r P r t d r （ ） 以 2020 年为第 0 年，将 2020 年 15 岁到 49 的人口分布为样本数据，用 SPSS 软件进行数据分析和曲线拟合， h(r) 用分段函数拟合， k(r) 用三次曲线拟合， 得到： 1 6 . 5 1 1 0 . 8 4 69 . 9 9 3 0 . 2 7 61 5 2 4() 2 5 4 9rrerhr     （ ） 2 6 3( ) 19 41 01 7 10k r r r r     （ ） 结合 （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） 可求出 ()ft。 长期趋势预测 模型 的 求解 用解析方法求出该模型的解比较复杂，一般情况下，先将数据离散化， 化为差分方程 再用计算机 循环迭代 求出数值解。 具体做法如下： （ 1） 设这个地区最大年龄为 m 岁 ， （ 2） 第 t 年为 i 岁的人数比率为 ( ) , 0 , 1 , 2.. ..。 0 , 1 , 2 , .. .. ..ix t i m t， （ 3） 设第 t 年为 i 岁的人口平均死亡率为 )(tdi ，即这一年中 i 岁人口中死亡数与基数之比：)( )1()()( 1tx txtxtd i iii   即： 1 ( 1 ) ( 1 ( ) ) ( ) , 0 , 1 , 2 , .. ., 1。 0 , 1 , 2 , .. .i i ix t d t x t i m t       （ 4） 设第 t 年 i 岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿数为 )(tbi ， 12[r,r] 为生育区间。 )(tki 为 第 t 年 i 岁 人口的女性比（占全部 i 岁人口数） 由此可知：第 t 年出生的人数为： 21ri i iirf ( t ) b ( t ) k ( t ) x ( t )  （ 5） 记第 t 年婴儿的死亡率为 )(00td ，则 )())(1()( 000 tftdtx  16 （ 6） 设21iii riirb ( t ) b ( t )h ( t )( t )b ( t ) ，它表示 i 岁女性总生育率，则 )()()( thttb ii  ， 如果假设 t 年后女性出生率保持不变，则 )(. ..)()()( 211 1 tbtbtbt iii   )(. ..)1()( 121211 iitbtbtb iii   得出差分方程 2121211 0 0 0 00i0 00 i i iiii0 00 i i iiii/iiiix ( t 1 ) ( 1 d ( t ) ) x ( t ) ( 1 d ( t ) ) ( 1 d ( t ) ) f ( t )( 1 d ( t ) ) ( 1 d ( t ) ) b ( t ) k ( t ) x ( t )( 1 d ( t ) ) ( 1 d ( t ) ) ( t ) h ( t ) k ( t ) x ( t )( t ) b ( t ) x ( t )           )())(1()1( 122 txtdtx  …… )())(1()1( 11 txtdtx mmm  为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况， 令 /0 1 2( ) [ ( ) , ( ) , ( ) , .. ., ( ) ]mx t x t x t x t x t 0110 0 0 .. . 0 01 ( ) 0 0 .. . 0 0( ) 0 1 ( ) 0 .. . 0 0.. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .0 0 .. . 1 ( ) 0m mmdtA t d tdt   120 0 ( ) .. . ( ) .. . 00 0 0. .. 0. .. 0() 0 0 0. .. 0. .. 00 0 0. .. 0. .. 00 0 0. .. 0. .. 0 rrmmb t b tBt 则此向量 )(tx 满足方程： )()()()()()1( txtBttxtAtx  即： x (t+ 1) = (A( t) + b(t) B( t)) x (t) （ ） 17 这是一阶差分方程其中 )(t 是可控变量，在稳。