不等式复习资料(编辑修改稿)

不等式复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

)的取值范围． [审题视点 ] 可利用待定系数法寻找目标式 f(－ 2)与已知式 f(－ 1)， f(1)之间的关系，即用 f(－ 1)， f(1)整体表示 f(－ 2)，再利用不等式的性质求 f(－ 2)的范围． 解 f(－ 1)＝ a－ b， f(1)＝ a＋ (－ 2)＝ 4a－ 2b. 设 m(a＋ b)＋ n(a－ b)＝ 4a－ 2b. ∴  m＋ n＝ 4，m－ n＝－ 2， ∴  m＝ 1，n＝ 3. ∴ f(－ 2)＝ (a＋ b)＋ 3(a－ b)＝ f(1)＋ 3f(－ 1)． ∵ 1≤ f(－ 1)≤ 2,2≤ f(1)≤ 4， ∴ 5≤ f(－ 2)≤ 10. 由 a＜ f(x， y)＜ b， c＜ g(x， y)＜ d，求 F(x， y)的取值范围，可利用待定系数法解决 ，即设 F(x， y)＝ mf(x， y)＋ ng(x， y)，用恒等变形求得 m， n，再利用不等式的性质求得 F(x， y)的取值范围． 【训练 3】 若 α， β满足  － 1≤ α＋ β≤ 1，1≤ α＋ 2β≤ 3， 试求 α＋ 3β的取值范围． 解 设 α＋ 3β＝ x(α＋ β)＋ y(α＋ 2β)＝ (x＋ y)α＋ (x＋ 2y)β. 由  x＋ y＝ 1，x＋ 2y＝ 3， 解得  x＝－ 1，y＝ 2. ∵ － 1≤ － (α＋ β)≤ 1,2≤ 2(α＋ 2β)≤ 6， ∴ 两式相加，得 1≤ α＋ 3β≤ 7. 考向四 利用不等式的性质证明简单不等式 【例 4】 ►设 a＞ b＞ c，求证： 1a－ b＋ 1b－ c＋ 1c－ a＞ 0. [审题视点 ] 充分运用已知条件及不等式性质进行求证． 证明 ∵ a＞ b＞ c， ∴ － c＞－ b. ∴ a－ c＞ a－ b＞ 0， ∴ 1a－ b＞ 1a－ c＞ 0. ∴ 1a－ b＋ 1c－ a＞ b－ c＞ 0， ∴ 1b－ c＞ 0. 1a－ b＋1b－ c＋1c－ a＞ 0. (1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件． (2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式． 【训练 4】 若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0， e＜ 0， 求证： ea－ c2＞ eb－ d2. 证明 ∵ c＜ d＜ 0， ∴ － c＞－ d＞ 0. 又 ∵ a＞ b＞ 0， ∴ a－ c＞ b－ d＞ 0. ∴ (a－ c)2＞ (b－ d)2＞ 0.∴ 0＜ 1a－ c2＜ 1b－ d2. 又 ∵ e＜ 0， ∴ ea－ c2＞ eb－ d2. 难点突破 15—— 数式大小比较问题 数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函 数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用． 一、作差法 【示例】 ► (2020陕西 )设 0＜ a＜ b，则下列不等式中正确的是 ( )． A． a＜ b＜ ab＜ a＋ b2 B． a＜ ab＜ a＋ b2 ＜ b C． a＜ ab＜ b＜ a＋ b2 D. ab＜ a＜ a＋ b2 ＜ b 二、作商法 【示例 】 ► 若 0＜ x＜ 1， a＞ 0 且 a≠ 1，则 |loga(1－ x)|与 |loga(1＋ x)|的大小关系是 ( )． A． |loga(1－ x)|＞ |loga(1＋ x)| B． |loga(1－ x)|＜ |loga(1＋ x)| C．不确定，由 a 的值决定 D．不确定，由 x 的值决定 三、中间量法 【示例】 ► 若 a＝ ， b＝ logπ3， c＝ log2sin2π5 ，则 ( )． A． a＞ b＞ c B． b＞ a＞ c C． c＞ a＞ b D． b＞ c＞ a 第 2 讲 一元二次不等式及其解法 【高考会这样考 】 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型． 2．考查一元二次不等式的解法及其 “ 三个二次 ” 间的关系问题． 3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题． 【复习指导】 1．结合 “ 三个二次 ” 之间的联系，掌握一元二次不等式的解法． 2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法． 基础梳理 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋ bx＋ c＞0(a＞ 0)或 ax2＋ bx＋ c＜ 0(a＞ 0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2． 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 判别式 Δ＝ b2－ 4ac Δ＞ 0 Δ＝ 0 Δ＜ 0 二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c (a＞ 0)的图象 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 (a＞ 0)的根 有两相异实根 x1， x2(x1＜ x2) 有两相等实根 x1＝ x2＝－ b2a 没有实数根 ax2＋ bx＋ c＞ 0 (a＞ 0)的解集 {x|x＞ x2或 x＜ x1}  x|x≠ － b2a R ax2＋ bx＋ c＜ 0 (a＞ 0)的解集 {x|x1＜ x＜ x2} ∅ ∅ 一个技巧 一元二次不等式 ax2＋ bx＋ c＜ 0(a≠ 0)的解集 的确定受 a的符号、 b2－ 4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为 ax2＋ bx＋ c＞ 0(或＜ 0)(其中 a＞ 0)的形式，其对应的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有两个不等实根 x1， x2， (x1＜ x2)(此时 Δ＝ b2－ 4ac＞ 0)，则可根据 “ 大于取两边，小于夹中间 ” 求解集． 两个防范 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况 ； (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 双基自测 1． (人教 A 版教材习题改编 )不等式 x2－ 3x＋ 2＜ 0 的解集为 ( )． A． (－ ∞ ，－ 2)∪ (－ 1，＋ ∞ ) B． (－ 2，－ 1) C． (－ ∞ ， 1)∪ (2，＋ ∞ ) D． (1,2) 解析 ∵ (x－ 1)(x－ 2)＜ 0， ∴ 1＜ x＜ 2. 故原不等式的解集为 (1,2)． 答案 D 2． (2020广东 )不等式 2x2－ x－ 1＞ 0 的解集是 ( )． A. － 12， 1 B． (1，＋ ∞ ) C． (－ ∞ ， 1)∪ (2，＋ ∞ ) D. － ∞ ，－ 12 ∪ (1，＋ ∞ ) 解析 ∵ 2x2－ x－ 1＝ (x－ 1)(2x＋ 1)＞ 0， ∴ x＞ 1 或 x＜－ 12. 故原不等式的解集为  － ∞ ，－ 12 ∪ (1，＋ ∞ )． 答案 D 3．不等式 9x2＋ 6x＋ 1≤ 0 的解集是 ( )． A. x|x≠ － 13 B. － 13 C. x|－ 13≤ x≤ 13 D． R 解析 ∵ 9x2＋ 6x＋ 1＝ (3x＋ 1)2≥ 0， ∴ 9x2＋ 6x＋ 1≤ 0 的解集为  x|x＝－ 13 . 答案 B 4． (2020许昌模拟 )若不等式 ax2＋ bx－ 2＜ 0 的解集为  x|－ 2＜ x＜ 14 ，则 ab＝ ( )． A．－ 28 B．－ 26 C． 28 D． 26 解析 ∵ x＝－ 2， 14是方程 ax2＋ bx－ 2＝ 0 的两根， ∴ － 2a ＝ － 2 14＝－ 12，－ ba＝－ 74， ∴ a＝ 4， b＝ 7.∴ ab＝ 28. 答案 C 5．不等式 ax2＋ 2ax＋ 1≥ 0对一切 x∈ R恒成立，则实数 a的取值范围为 ________． 解析 当 a＝ 0 时，不等式为 1≥ 0 恒成立； 当 a≠ 0 时，须  a＞ 0，Δ≤ 0， 即  a＞ 0，4a2－ 4a≤ 0. ∴ 0＜ a≤ 1，综上 0≤ a≤ 1. 答案 [0,1] 考向一 一元二次不等式的解法 【例 1】 ►已知函数 f(x)＝  x2＋ 2x， x≥ 0，－ x2＋ 2x， x＜ 0， 解不等式 f(x)＞ 3. [审题视点 ] 对 x分 x≥ 0、 x＜ 0进行讨论从而把 f(x)＞ 3变成两个不等式组． 解 由题意知  x≥ 0，x2＋ 2x＞ 3 或  x＜ 0，－ x2＋ 2x＞ 3， 解得： x＞ 1. 故 原不等式的解集为 {x|x＞ 1}． 解一元二次不等式的一般步骤是： (1)化为标准形式； (2)确定判别式 Δ的符号； (3)若 Δ≥ 0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若 Δ＜ 0，则对应的二次方程无根； (4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集． 【训练 1】 函数 f(x)＝ 2x2＋ x－ 3＋ log3(3＋ 2x－ x2)的定义域为 ________． 解析 依题意知  2x2＋ x－ 3≥ 0，3＋ 2x－ x2＞ 0， 解得 x≤ － 32或 x≥ 1，－ 1＜ x＜ 3. ∴ 1≤ x＜ 3. 故函数 f(x)的定义域为 [1,3)． 答案 [1,3) 考向二 含参数的一元二次不等式的解法 【例 2】 ►求不等式 12x2－ ax＞ a2(a∈ R)的解集． [审题视点 ] 先求方程 12x2－ ax＝ a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 解 ∵ 12x2－ ax＞ a2， ∴ 12x2－ ax－ a2＞ 0， 即 (4x＋ a)(3x－ a)＞ 0，令 (4x＋ a)(3x－ a)＝ 0， 得： x1＝－ a4， x2＝ a3. ① a＞ 0 时，－ a4＜ a3，解集为  x|x＜－ a4或 x＞ a3 ； ② a＝ 0 时， x2＞ 0，解集为 {x|x∈ R且 x≠ 0}； ③ a＜ 0 时，－ a4＞ a3，解集为  x|x＜ a3或 x＞－ a4 . 综上所述：当 a＞ 0 时，不等式的解集为  x|x＜－ a4或 x＞ a3 ； 当 a＝ 0 时，不等式的解集为 {x|x∈ R且 x≠ 0}； 当 a＜ 0 时，不等式的解集为  x|x＜ a3或 x＞－ a4 . 解 含参数的一元二次不等式的一般步骤： (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ与 0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。