基于数字滤波的谱数据的平滑算法的研究与实现所有专业(编辑修改稿)

基于数字滤波的谱数据的平滑算法的研究与实现所有专业(编辑修改稿)内容摘要：

于加权系数在整个平滑过程中始终保持不变。 采用变参数双指数平滑模型，有效地改善了这一不足，同时其平滑速度优于多项式拟和平滑法。 对在不同的谱段，可根据不同的要求，取不同的 a 值，从而平滑加权系数不同，平滑的程度不同，达到了抑制涨落和降低畸变的目的。 SavitzkyGolay 滤波 SavitzkyGolay滤波器是一种特殊的低通滤波器，又称 SavitzyGolay平滑器。 低通滤波器的明显用途是平滑噪声数据 ，噪声是用来描述所观察现象提取信息中附加的不易区别的任意错误，而数据平滑能消除所有带有较大误差障碍的数据点，或者从图形中作出初步而又粗糙的简单参数估算。 SavitzkyGday滤波器最初由 Savitzky A和 Golay M于 1964年提出，被广泛地运用于数据流平滑除噪，是一种在时域内基于多项式，通过移动窗口利用最小二乘法进行最佳拟合的方法。 这是一种直接处理来自时间域内数据平滑问题的方法，而不是像通常的滤波器那样先在频域中定义特性后再转换到时间域。 通过这种方法，计算机的唯一功能就是充当一个平滑噪声起伏的 滤波器并尽量保证原始数据的不失真。 在这个过程中，计算机只需运行相对小型的程序，减少了对电脑内存和数据处理能力的要求，因此这种方法相对来说更加简单、快速，而且相对于其他类似的平均方法而言，这种方法更能保留相对极大值、极小 8 值和宽度等分布特性。 SavitzkyGolay滤波器有如下几大优点： 1)利用最小二乘的多项式拟合方法非常清晰易懂，并且在计算上来说，多项式卷积的操作比最小二乘的计算可操作性更强； 2)滤波系数只需要在对应的卷积系数表中进行查找，很容易获得； 3)savitzkyGolay滤波器可以有任 意的长度，因此有利于采样频率通常很低的生物学或者生物力学的数据处理。 最小二乘移动平滑法基本思想 与方法 1964 年 A. Savitzky 和 提出了一个用于谱数据平滑处理的滤波器响应函数。 其基本思想是，当求平滑之后谱的第 m点数据时，先在原始谱数据第 m点的左、右各取 K个数据点，形成一个共有 2K+1个数据点的窗口。 在这个窗口中用多项式拟合原始谱数据，则拟合多项式在 m 点的值就是平滑后的谱在 m 点的值。 当 m 值沿谱数据移动时，就可以得到整个平滑后的谱数据。 这种方法称为最小二乘移动平滑法，或最小平 方曲线拟合平滑法。 原始谱数 据为 my ，平滑 后谱数 据为 my ，在平 滑窗口 内，用 q价 多项式qq mxamxamxaaxS )()()()( 2210   逼近原始谱数据 my 时，平滑后谱第 m点的值为 0|)( axSy mxm   同时还可以把 S（ x）在 m点的各阶导数值作为平滑后的谱在 m点的各阶导数值。 平滑后的谱在 m点的各阶导数值。 平滑后的谱在 m点的 p 阶导数值为 pmxppm apxSy !|)( )()(   根据上述原理，用最小二乘法函数拟合可以导出计算平滑后的谱数据和其各阶导数值的具体计算公式   !k x m pmpy N p a   () 规范化常数 kN 和权因子 kjC 的值列在表 1 中。 由表中查出 kN 和 kjC 的值就可以写出平滑谱的 计算公式。 例如当平滑窗口选为 5点时（ K=2）， 5点平滑公式为 )31217123(351 2112   mmmmmm yyyyyy 由数字滤波器理论可以推导出最小二乘移动平滑公式中 /kj kCN的一般计算公式。 当平滑窗口为 W=2K+1 时， 9    222, 12 141511 jWWWNC K jK () k j k   用这个公式计算得出的 KjK NC /, 值，与表 1 中列出的数值相吻合。 由公式 ()也可以计算平滑谱的各阶导数值，只不过权因子 kjC 和规范化常数kN 的值各不相同。 表 2中列出了采用不同的平滑窗口、用公式 ()计算平滑谱的一阶导数时的 kjC 与 kN 的值。 表 3中列出了采用不同的平滑窗口，计算平滑谱的二阶导数时的 kjC 与 kN 的值。 根据表 2 平滑窗口为 5 点（ K=2）时，平滑谱的一阶导数计算公式为 )88(121 21m1m2mm   myyyyy 根据表 3，平滑窗口为 5点时，平滑谱在 m点的二阶导数值为： )222(71 21m1m2mm   mm yyyyyy 前面已经指出，平滑的本质是对谱曲线进行低通滤波，去掉高频成分，保留有用的低频信息。 滤波的效果取决于低通滤波器的频谱特性。 当式 中的权因子不同时滤波器的频谱特性不同，滤波的效果也不同。 在某些实际应用的平滑程序中使用了不同于式 ，例如在 SPECTRANF 程序中使用的平滑公式如下： 三点平滑公式为 )2(41 1m1mm   myyyy 五点平滑公式为 )464(161 2m1mm1m2mm   yyyyyy 七点平滑公式为 )61520206(641 2m2m1mm1m2m3mm   yyyyyyyy 这几个平滑公式的优点是权因子都是正数，平滑之后的谱数据不可能出现负值，从而提高了平滑之后的谱数据的可靠性。 这在原始谱数据中本底很小、峰很高、而且峰的宽度很窄时是非常重要的。 如果平滑之后的谱数据出现了负值（这显然是不合理的），可能使后续的计算程序在运行时产 生错误。 10 表 1 最小二乘移动平滑计算公式中的 kN 值和kjC值 2K+1 j kjC 17 15 13 11 9 7 5 8 21 7 6 78 6 7 13 11 5 18 42 0 36 4 27 87 9 9 21 3 34 122 16 44 14 2 2 39 147 21 69 39 3 3 1 42 162 24 84 54 6 12 0 43 167 25 89 59 7 17 1 42 162 24 84 54 6 12 2 39 147 21 69 39 3 3 3 34 122 16 44 14 2 4 27 87 9 9 21 5 18 42 0 36 6 7 13 11 7 6 78 8 21 NK 323 1105 143 429 231 21 35 11 表 2 最小二乘移动平滑法计算平滑谱的一阶导数公式中的 kN 值和kjC值 2K+1 j kjC 17 15 13 11 9 7 5 8 748 7 98 12922 6 643 4121 1133 5 930 14150 660 300 4 1002 18334 1578 294 86 3 902 17842 1796 532 142 22 2 673 13843 1489 503 193 67 1 1 358 7506 832 296 126 58 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 358 7506 832 296 126 58 8 2 673 13843 1489 503 193 67 1 3 902 17842 1796 532 142 22 4 1002 18334 1578 294 86 5 930 14150 660 300 6 643 4121 1133 7 98 12922 8 748 NK 23256 334152 24024 5148 1188 252 12 12 表 3 最小二乘移动平滑计算平滑谱的二阶导数公式中的 kN 值和kjC值 2k+1 j kjC 17 15 13 11 9 7 5 8 40 7 25 91 6 12 52 22 5 1 19 11 15 4 8 8 2 6 28 3 15 29 5 1 7 5 2 20 48 10 6 8 0 2 1 23 53 13 9 17 3 1 0 24 56 14 10 20 4 2 1 23 53 13 9 17 3 1 2 20 48 10 6 8 0 2 3 15 29 5 1 7 5 4 8 8 2 6 28 5 1 19 11 15 6 12 52 22 7 25 91 8 40 NK 3976 6188 1001 429 462 42 7 移动最小二乘法 与最小二乘法 比较 移动最小二乘法是形成无网格方法逼近函数的方法之一。 已在无网格方法中得到广泛应用。 其优点是有很好的数学理论支持，因为基于最小二乘法，所以数值精度较高。 对于每个固定点，移动最小二乘法即为通常的最小二乘法。 最小二乘法的缺点也是移动最小二乘法的缺点，即易形成病态或奇异的方程组。 1）拟合函数的建立不同。 移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其它函数，而是由一个系数向量 a(x)和基函数 p(x)构成，这里 a(x)不是常数，而是坐标 x 的函数。 2）引入紧支（ Compact Support）概念，认为点 x 处的值 y 只受 x 附近子域内节 13 点影响，这个子域称作点 x 的影响区域（支撑域），影响区域外的节点对 x的取值没有影响。 在影响区域上定义一个权函数ω (x)，如果权函数在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。 优势：移动最小二乘法的这些改进能够带来许多优点，减缓或解决传统曲线曲面拟合过程中存在的困难。 可以取不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权函数以改变拟合曲线 (曲面 )的光滑度，这是其它拟合方法无法做到的。 小波变化方法 原理 小波分析是在傅里 叶分析的基础上发展起来的一种全新的时频分析方法， 是窗口大小固定但形状可改变 、 时间窗和频率窗也均可改变的时频局域化分析方 法。 由于它具有多分辨率特性，从而能够处理缓和变化成分与剧烈变化成分并存的信号。 小波变换降噪源于能谱分析中函数的伸缩和平移，是傅立叶变换降噪方法的发展与延拓。 小波分析，是泛函分析、傅立叶分析、样条理论、调和分析以及数值分析等多个学科相互交叉、相互融合的结晶。 小波分析属于时频分析的一种。 它是一种多尺度的信号分析方法， 是分析非平稳信号的强有力工具。 它克服了短时傅立叶变换固定分辨率的缺点，既能分 析信号的整个轮廓，又可以进行信号细节的分析。 设    2t L R  （  2LR为平方可积空间），即能量有限的信号空间 ),其傅立叶变换为  ˆ ,当  ˆ 满足允许条件 (完全重构条件或者恒等微分条件 )   2ˆ0 Cd       时 ,我们称 t 为一个基本小波或母小 波，将母函数经伸缩和平移后得能量归一化的小波族为：  , 1 , 0 ,ta tt a Raa      ,tat 是由母波 t 通过尺度 a伸缩变换与时间平移  变换得到的自相似函数族 ,我们称之为小波或者子波。 a为尺度因子或伸缩因子，  为平移因子。 一般情况下小波有以下特点： 1. 母波必需满足容许性条件：   2ˆ0 Cd       14 2. 波动性一时域振荡性：    , 0ta t d t t d t   3. 能量有限性 ：   2,ta t dt  即能量恒等性 ,进而可对其进行能量归一化    22, 0 1ta t d t t d t     在某些特别应用中， ,ta 一般都是进行能量恒等性 (进而归一化 )但并不是需要特别强 调。 ：母波  在时域的持续时间必 须是有限的 ,即是一个小的时间区间， 间区间 ,最好具有紧支撑性质 ,进一步要求在频域也应当具有局域化特征。 这是小波的重要性质 ,支撑区间越小的小波局域化能力越强。 ： 每一个基函数 ,ta 与母波树形状相似 ， 相互之间形状也相似。 ,ta 继 承了母波的“基因”， ,ta 属于  的子代 —— 小字辈。 “自相似”蕴含着“多”的意 义。 在小波变换的表达式中，具有无穷多的 ,ta ， R 或 aR。 小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数 (即为母小波 )，然后将其伸缩和平 移得到一个函数簇 (即小波基函数 )，以便在一定条件下，任。