一类线性变换多项式的维数特征(编辑修改稿)

一类线性变换多项式的维数特征(编辑修改稿)内容摘要：

以 ke r [ ( ) ( ) ] ke r [ ( ) ] ke r [ ( ) ]f g f g   . 定理１的证明 由引理 1 得到： ke r [ ( ) ( ) ] ke r [ ( ) ] ke r [ ( ) ]f g f g   . 于是 ( ) ( ) 0 ke r [ ( ) ] ke r [ ( ) ]f g V f g       dim [ ke r ( ) ] dim [ ke r ( ) ]f g n  . (必要性 ) 若 ( ) ( ) 0fg ，则 di m [ ke r ( ) ] di m [ ke r ( ) ]f g n 注意到 : di m [ ke r ( ) ] [ ( ) ]f n r f与 di m [ ke r ( ) ] [ ( ) ]g n r g 即得 [ ( )] [ ( )]r f r g n. (充分性 ) 若 [ ( )] [ ( )]r f r g n，则 ke r [ ( ) ] ke r [ ( ) ]V f g，于是 ( ) ( ) 0fg . 在文献 [7］中，对矩阵秩的一个重要不等式 ( ) ( ) ( )r AB r A r B n  ，给出了它取等号 的一个充分必要条件，即下面的引理 2，借助该引理，我们可以把定理 1 推广成一个更一般的结果（前文的定理 2）： 引理 2[7] 设 A 、 B 分别为 mn 和 nm 矩阵，则 ( ) ( ) ( )r A r B r AB n  的充分必要条件为存在矩阵 X 、 Y ， 使得 XA BY E. 定理 2 的证明 设 12, , , n   为 V 的一组基，  在该 基下的矩阵为 A ，则 ()f 、 ()g 在该基下的矩阵分别为 ()fA、 ()gA， 而 且 [ ( )] [ ( )]r f r f A  、 [ ( )] [ ( )]r g r g A  及 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]r f g r f A g A  因为 ( ( ), ( )) 1f x g x ，所以存在 ( ), ( )u x v x ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x， 则 ( ) ( ) ( ) ( )u A f A g A v A E， 由引理 2，得 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]r f A r g A r f A g A n   于是 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]r f r g n r f g     . 推论 1 设 ( ), ( ) [ ]f x g x P x ， ( ( ), ( )) 1f x g x  ， nnAP ，则 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]r f A r g A n r f A g A  . 推论 2 设 1 2 3( ), ( ), ( )f x f x f x两两互素， nnAP ，则 1 2 3 2 1 3( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( ) ( ) )r f A r f A f A r f A r f A f A  . 定理 3 的证明 因为 13( ( ), ( )) 1f x f x ， 23( ( ), ( )) 1f x f x ，由定理 2，得 13( ( ) ( ))r f f 13( ( )) ( ( ))r f r f n， 23( ( ) ( ))r f f 23( ( )) ( ( ))r f r f n， 所以 13( ( ) ( ))r f f 1( ( ))rf = 23( ( ) ( ))r f f 2( ( ))rf 即得 1( ( ))rf + 23( ( ) ( ))r f f= 2( ( ))rf )+ 13( ( ) ( ))r f f. 定理 4 的证明 对 m 作归纳： 2m 时由定理 2即知结论成立，假设结论对 1m 成立 .由于 1(),fx 2 ( ), , ( )mf x f x两两互素，令 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )mx f x f x f x  ，则 ()x 与 ()fx也互素，由归纳法假设，得 11[ ( ) ] [ (。