高等数学考试复习资料(编辑修改稿)

高等数学考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

eaa21 +5/12 29. 8a 30. 521/2 31. （ 0， 1， 2） 32. 5a11b+7c 33. 4x+4y+10z63=0 34. y2+z2=5x 35. x+y2+z2=9 36. x 轴： 4x29(y2+z2)=36 y 轴： 4(x2+z2)9y2=36 37. x2+y2(1x)2=9 z=0 38. x2+y2+(1x)2≤ 9 z=0 39. 3x7y+5z4=0 40. 2x+9y6z121=0 41. x3y2z=0 42. x+y3z4=0 43. 331 44. 24x= 11y = 53z 45. 43x = 22y = 11z 46. 2x = 32y = 14z 47. 8x9y22z59=0 48. (5/3,2/3,2/3) 49. 223 50.    014 0117373117 zyx zyx 四．证明题 1． 证明不等式：  11 4 3812 dxx 证明：令  1,1,1)( 4  xxxf 则43431212 4)( xxxxxf ， 令 ,0)(  xf 得 x=0 f(1)=f(1)= 2 ,f(0)=1 则 2)(1  xf 上式两边对 x 在  1,1 上积分，得不出右边要证的结果 ，因此必须对 f(x)进行分析，显然有 ,1)1(211)( 222424 xxxxxxf  于是   11 211 411 ,)1(1 dxxdxxdx故   11 4 3812 dxx 2． 证明不等式   210 )2(,6121 nxdxn 证明：显然当  21,0x时，（ n2）有    210 210 22 6021a r c s i n11211 11 11 xxdxxdxxx nn 即，   210 )2(,6121 nxdxn 3． 设 )(xf ， g(x)区间   )0(,  aaa 上连续， g(x)为偶函数，且 )(xf 满足条件。 为常数 )()()( AAxfxf  证明：   aaa dxxgAdxxgxf 0 )()()( 证明： dxxgxfdxxgxfdxxgxf aaa a    00 )()()()()()( dxxgxfduugufuxdxxgxf aaa   000 )()()()()()( 令      aaaaa a dxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxf 0000 )()()()()()()()()()( 4． 设 n 为正整数，证明  20 20 c os21s i nc os  x dxx dxx nnnn 证明：令 t=2x,有     0120 201 s i n212)2(s i n2 1s i nc os t dtxdxx dxx nnnnnn ,s i ns i n2 1 2201     t dtt dt nnn 又，    02202 s i n)(s i ns i n   ududuuutt dt nnn， 所 以 ，      22020 20201 s i n2 1s i n2 1)s i ns i n(2 1s i nc os x dxt dtt dtt dtx dxx nnnnnnnnn 又，   20022c osc os2s i n   x dxt dttxx dx nnn 因此，  20 20 c os21s i nc os  x dxx dxx nnnn 5 ． 设 )(t 是正值连续函数， ),0(,)()(   aaxadtttxxf aa 则曲线)(xfy 在  aa, 上是凹的。 证明：    xa ax dttxtdtttxxf )()()()()(       xa axxa xa dttxdtttdtttdttx )()()()(      xa xaxa ax dttdttdttdttxf )()()()()(  0)(2)()()(  xxxxf  故，曲线 )(xfy 在  aa, 上是凹的。 ：   1 11 22 11x x xdxxdx 证明：    1 111111 222212 11)1(1111x x x xuxxdxududuuuxdx 令 7． 设 )(xf 是定义在全数轴上，且以 T 为周期的连续函数， a 为任意常数，则   Taa T dxxfdxxf 0 )()( 证明：     a a aTxfxfTxfTuxTaT dxxfdxTxfduTufdxxf 0 0 0)()()( )()()()(为周期以令  0)()(0    TaTa dxxfdxxf 在等式两端各加 T dxxf0 )(，于是得   Taa T dxxfdxxf 0 )()( 8． 若 )(xf 是连续函数，则   x xu duufuxdudttf0 00 )()()( 证明：    x u xu duuufxdttfududttf0 0 00 )(0)()(   xx duuufdttfx00 )()(   x duufux0 )()( 9． 设 )(xf ， )(xg 在  ba, 上连续，证明至少存在一个 ),( ba 使得     ab dxxfgdxxgf )()()()( 证明：作辅助函数   xa bx dttgdttfxF )()()(，由于 )(xf , )(xg 在  ba, 上连续，所以)(xF 在  ba, 上连续，在（ a,b）内可导，并有 0)()(  bFaF 由洛尔定 理),(,0)( baF   即      xbx xaxxxa bx xgdttfdttgxfdttgdttf )()()()()()(   ba dxxfgdxxgf   )()()()( ＝ 0 亦即，     ab dxxfgdxxgf )()()()( 10． 设 )(xf 在  ba, 上连续，证明：   baba dxxfabdxxf )()()( 22 证明：令   xaxa dttfaxdttfxF )()()()( 22    xa dtxftfxF 0)()()( 2 故 )(xf 是  ba, 上的减函数，又 0)( aF ， 0)()(  aFbF 故   baba dxxfabdxxf )()()( 22 11． 设 )(xf 在  ba, 上可导，且 Mxf  )( ， 0)( af 证明：  ba abMdxxf 2)(2)( 证明：由题设对  ,bax 可知 )(xf 在  ba, 上满足拉氏微分中值定理，于是有  xaaxfafxfxf ,),)(()()()(   又 Mxf  )( ，因而， )()( axMxf  由定积分比较定理，有   baba abMdxaxMdxxf 2)(2)()( 面前放宽身后泽长 面前放宽身后泽长 面前的田地要放得宽，使人无不平之叹；身后的惠泽要流得长，使人有不匮之思。 田地：指心胸，心田。 不平之叹：对事情有不平时所发出的感叹。 不匮之思：匮，缺乏，比喻永恒的恩泽。 据《诗经 大雅》篇：“孝子不匮，永锡尔类。 ” 一个人待人处事的心胸要宽厚，只有如此，才能使你身边的人不会有不平的牢骚；死后留给子孙与世人的恩泽要流得长远，才会使子孙后代永远的思念。 沩山、五峰、云岩顺次站在师父百丈和尚的身边，向师父讨教。 按例，百丈先问高徒沩山：“抿住咽喉与嘴巴，如何说法。 你且说说看。 ”沩山忙说：“先请老师示范一下吧。 ”反问的太巧了。 沩山如果在百丈提问之前没有悟透的话，是不会应对的如此妙当的。 这种功能在禅里称为“骑贼马追贼”。 百丈于是说：“我本应该讲给你听的，这是义不容辞的事，可是如果我说了，恐怕我就会丧失儿孙。 ”意思是：你要我讲，我是可以讲给你的。 可是如果说个明明白白，你们这些小子就会放松自己，不去穷尽至理，我岂不绝子绝孙吗。 还是不说的好。 对百丈的“并却咽喉唇 道一句”的提问，五峰是这样回答的：“这么说，老师也得抿住咽喉来说法了。 ”五峰这样回答跟沩山的“骑贼马追贼”的机灵回答相似，但是对老师的回击更为猛烈，远不及沩山的“请老师自行说说看”的回答沉静老练、锋芒不露。 从这些地方，就可以看出修行之人的境界、锤炼的程度了。 百丈则对他说：“你禅机甚锐，令修行者不能近前。 恐怕他们都会把手挡在额上，从远处观望一下便走开。 你叫他们敬而远之。 ”百丈的话半是肯定、半是点破，值得初参者认真学。 对百丈大师的问答，最后的云岩是这样回答的：“老师说法时不正是有时抿住了咽喉唇，有时又不好抿吗。 ”云岩尚未开眼，禅门称为“无眼子”，也许是因为这个原因，他的回答才这么钝拙吧。 圆悟和尚的评语是“皮粘着骨”，理是有点理，但太拘泥于文字，火候还不到，就像调味不到的厨师。 百丈开示说：“云岩哪，你如果老是这样莫衷一是，修行可怜的禅，恐怕我的法子法孙都会丧失于你手。 ”沩山与五峰都悟过了，差别只在于了悟的程度、精粗之分；而云岩还未真悟，心中尚残秽物。 《高僧传》说云岩随侍百丈二十年后，参得生死大法；而真正的开悟，是在药山座下参禅时得缘而悟的。 路留一步味让三分 路径窄处留一步，与人行；滋味浓的减三分，让人尝。 此是涉世 一极乐法。 路径：小路。 在狭窄的小路上行走，要留一点余地让别人走；遇到美味可口的食物，要留出三分让给别人吃。 这就是一个立身处世最安全快乐的方法。 “将相和”是历史上有名的典故。 廉颇和蔺相如同是战国时的赵国大臣。 廉颇是赵国的名将，蔺相如由于在完璧归赵和渑池会上立了功，赵王封蔺相如做上卿，位置在廉颇之上。 廉颇很不服气，扬言说：“我见到蔺相如，一定要羞辱他。 ”蔺相如听说了，就一直刻意回避他，在街上遇见他的车子，也都躲避，甚至假装生病不上朝以免与廉颇同列。 蔺相如手下的人很不理解，蔺相如道：“我连秦王也不怕， 我会怕廉将军吗。 但是大家知道，秦国之所以忌惮我们赵国，就是因武有廉将军，而文有我啊。 如果我们之间起了争斗，秦国就会趁虚而入，我之所以避着廉将军，为的是赵国的利益。 ”廉颇听说了这件事以后，十分羞愧，就光着上身，绑上荆条，到蔺相如府上请罪，说道：“我是个粗鄙浅陋的人，不料您宽容我、忍让我竟到了这等地步。 ”从此，赵国出现了将相和睦的大好局面。 脱俗除累超凡入圣 脱俗除累超凡入圣 作人无甚高远的事业，摆脱得俗情便入名流；为学无甚增益的工夫，减除得物累便臻圣境。 俗情：世俗之人追逐利欲的意念。 物累：心为外 物所牵累，也就是思想遭受物欲等杂念干扰。 圣境：是指至高无比的境界。 做人并不是非要懂得什么高深的大道理，一定要干大事业才行，只要能摆脱世俗的利欲意念就可以跻身名流；要想求到很高深的学问，并不需要特别的秘诀，只要能排除外界的干扰，清心寡欲，就可以超凡入圣。