frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件(编辑修改稿)

frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件(编辑修改稿)内容摘要：

用到了广义逆矩阵的概念，比较复杂 .能否得出等号成立的较为简洁的条件 ? 这看来也是一个不简单的问题 ．” 本文将给出一个使 (10)等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以把文 [18]中诸多结论统一起来并进行推广 ． 本文中所有记号与文 [1]相同 ． 4 2 主要结 果 引理 1[13,14]（ Roth） 设 msAP ， tnBP ， mnCP ，则矩阵方程 AX YB C （ 14） 有解的充分必要条件是矩阵 00A B 与 0ACB （ 15） 等价（相抵） . 定理 1 设 mnAF ， nsBF ， stCF ，则 r a nk ( ) r a nk ( ) r a nk ( ) r a nk ( )AB C AB BC B （ 16） 的充分必要条件是存在矩阵 X 、 Y 使得 XAB BC Y B. 证明 由 （ 16） 式得到 r a nk ( ) r a nk ( ) r a nk ( ) r a nk ( )AB C B AB BC   因此式 （ 16） 等价于 00r a n k r a n k00B B CA B C A B          （ 17） 由于 000 0 0E B E C B B CA E A B C E A B                      （ 18） 000 0 0 0B B C E E B C BA B E E A B                      （ 19） 其中方阵 0EAE， 0ECE， 0 0EE， 00E E 都是可逆的，由 （ 18） 、 （ 19） 式得 0r a n k r a n k00B B C BA B C A B          （ 20） 由 （ 20），得 式 （ 17） 又等价于 5 0r a n k r a n k00B C B C BA B A B          （ 21） 根据 引理 1， 式 （ 21）成立的 充分必要条件是 存在 矩阵 X 、 Y ， 使得 XAB BC Y B. 3 应用 利用我们的结果，可以直接获文献 [18]中相关结 论 . 推论 1[7] 设 ( ) , ( ) , ( ) [ ] , , ( ) , ( ) ) 1nnf x g x h x P x A P f x h x  且 (，则 r a nk ( ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) )f A g A g A h A。