euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广(编辑修改稿)

euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广(编辑修改稿)内容摘要：

  11, ( )nni i j ji j rkf      , fxy 其中1 ()nf i iiry f V.再由引理 3 知唯一性成立，定理得证 . 通过定理 2，我们知道，对于有限维的 Euclid 空 间上的线性泛函都能用内积来刻画，而对于更一般的情形（对整个 Euclid 空间的维数不加限制），我们先从下面的引理开始探讨 . 引理 4 设 V 是 Euclid 空间， xV ，则由 x 生成的子空间 ()Lx 是 V 的闭子空间 . 证明 当 ()Lx 的聚点集 39。 ()Lx 时，结论显然成立，下面不妨设 39。 ()Lx ，这时 0x ，否则 ( ) {0}Lx 是孤立点集，从而 39。 ()Lx ，矛盾 . 现设 39。 0 ()x Lx ，则有 ()Lx 中的点列 {}nx ，有0lim nn xx ，则 0， N   ，对 n ， mN ，有 nmx x x  ， （ 1） 由于 nx ()Lx ，故 nkR，使得 nnx kx ， 1n ， 2 ， ，将此代入（ 1）得到 nmkk， （ 2） 7 所以根据 Cauchy 收敛准则知数列 {}nk 收敛，设0lim nn kk ，则 0， 39。 N   ，使得 39。 nN ，有0 1nkk x ，于是 39。 nN ，有 0 0 0n n n nx k x k x k x k k x      ， 即0lim nn x k x ，故 00 ()x k x L x ，所以 ()Lx 是 V 的闭子空间 . 引理 5 W 是 Euclid 空间 V 的闭子空间，则 ()WW . 证明 xW ， yW ，有 ( , ) 0xy ，则 ()xW ，所以 ()WW ，下面只须证 ()WW 即可 . ()xW ，由于 W 是 Euclid 空间 V 的闭子空间，故根据引理 1 和引理 2知存在 ()y W W  及 zW ，使得 x y z，由于 ()W 是线性子空间，因此()z x y W    ，从而 ( ) { 0}z W W  ，即 0z ，所以 x y W .这就证明了 ()WW . 经过前面的准备下，我们就可以得到以下定理 . 定理 3 设 f 是 Euclid 空间 V 上的线性泛函，则下列条件是等价的： 1）存在唯一的 fyV ，使得 xV ，有 ( ) , ff x x y ； 2） 0f 或 dim ( ) 1Nf  ； 3） ( ) ( )V N f N f . 证明 1） 2） 若 fyV，使得 xV ，有 ( ) , ff x x y ，则 当 0fy  时， 0f ，下设 0fy  . ()x N f ，有 : , ( ) 0fx y f x，从而 : ()fx L y ，即 ()fx L y  ，所以 ( ) ( )fN f L y  ；反之 ()fx L y  ，有 : ( ) , 0ff x x y，即 ()x N f ，于是 ( ) ( )fL y N f  .因此 ( ) ( )fN f L y  . 再根据引理 3 和引理 4 知 ( ) ( ( ) ) ( )ffN f L y L y  ，由于 0fy ，所以dim ( ) 1Nf  . 2） 3） 8 当 0f 时， ()N f V ，此时 3）显然成立； 当 dim ( ) 1Nf  时，则 ()Nf  ， 0 ，使 ( ) ( )N f L   .由于 0 ，故 ()Nf ，所以 ( ) 0f   ，于是 xV ，令 ()()fxy f ，则有 ()x x y y，其中 ()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0()fxf x y f x f y f x ff        因此 ()x y N f ，而 () ()()fxy N ff  ，所以 ( ) ( )V N f N f . 3） 1） 若 0f ，则令 0fy  ，结论自然成立 . 若 ( ) ( )V N f N f ，且 0f ，则 ( ) 0Nf  ，于是可设 0 0y ，0 ()y N f  ，对任何 xV ，令 00( ) ( )v f x y f y x，则 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f v f x f y f y f x， 即 ()v N f .  0 0 0 0 0 0 0 00 , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,v y f x y f y x y f x y y f y x y    ， 由于 00,0yy ，所以 00000 0 0 0( ) ( )( ) , , ( , )f y f yf x x y x yy y y y ， 令 0000(),f fyyyyy，则 ( ) , ff x x y . 而。