20xx年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案(编辑修改稿)

20xx年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案(编辑修改稿)内容摘要：

   xx xx xxx xxxxxm ． 15 分 因为函数21)1(2 3)(  xxf在 ]2,1( 上单调递减，所以 )1()2( fmf  ． 又2 423)2(,41)1(  ff，所以)41,23[m ． 20 分 11．已知点 ),( nmE 为抛物线 )0(22  ppxy 内一定点，过 E 作斜率分别为 21,kk 的两条直线交抛物线于 DCBA , ，且 NM, 分别是线段 CDAB, 的中点． （ 1）当 0n 且 121 kk 时，求 △ EMN 的面积的最小值； （ 2）若  21 kk （  ,0 为常数），证明：直线 MN 过定点． 解 AB 所在直线的方程为 mnytx  )(1 ，其中111kt  ，代入 pxy 22 中，得 2 112 2 2 0y p t y p t n p m   ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则有 121 2ptyy  ，从而 1 2 1 1 2 1 1( 2 ) 2 ( 2 2 ) 2x x t y y n m t p t n m       ． 则 21 1 1( , )M pt nt m pt． CD 所在直线的方程为 mnytx  )(2 ，其中221kt  ，同理可得 22 2 2( , )N pt nt m pt ． 5 分 （ 1）当 0n 时， ( ,0)Em ， 211( , )M pt m pt ， 222( , )N pt m pt ， 211 1|||| tptEM  ，222 1|||| tptEN  ． 又 121 kk ，故 121 tt ，于是 △ EMN 的面积 13 22 2 2 2 21 2 1 2 1 211| | | | | | ( 1 ) ( 1 ) 22 2 2pS E M E N p t t t t t t         2 242p p   ， 当且仅当 1|||| 21 tt 时等号成立． 所以， △ EMN 的面积的最小值为 2p . 10 分 （ 2）pnttttnttpttpkMN )(1)()()(21212221 21， MN 所在直线的方程为 ]([)(1 121211 mntptxpnttpty ， 即mxtptpntty  2121 )( ． 15 分 又 212111 ttkk ，即  2121 tttt  ，代入上式，得 1212() ttny t t p x mp      ， 即 mpnyxpytt  ))(( 21 ． 当 0py时，有 0 mpnyx，即 nmxpy 为方程的一组解， 所以直线 MN 恒过定点),(pnm． 20 分 14 15 16 17 18 19 20 2020 年上海市高中数学竞赛 一、填空题 （本题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分） ,正六边形 1 1 1 1 1 1ABCDEF 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一个正六边形 2 2 2 2 2 2A B C D E F ,如此继续下去 ,则所有这些六边形的面积和是 . 1 2 10, , ,a a a 满足 : 3 ,1 1 02   jia ija,则 10a的最小可能值是 . 17ta n ta n ta n 6    ， 4c ot c ot c ot 5     ,cot cot 17c o t c o t c o t c o t 5      ，则  tan     . 4．已知关于 x 的方程    lg 2 lg 1kx x仅有一个实数解，则实数 k 的取值范围是 . 5．如图， AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形，已知90  AEF ， ,  AE a EF b a b，则 x . 6．方程 12 3 3 2 1 3   m n n m的非负整数解  , mn . 7．一个口袋里有 5 个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出 5 个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列 na 定义如下：  1 2 2 1211 , 2 , , 1 , 2 ,22    n n nn na a a a a nnn.若20202 2020ma ，则正整数 m 的最小值为 . F 2E 2D2C2B 2A 2E 1F 1B 1A 1C1D1FBDACE 21 二、解答题 9． （本题满分 14 分） 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB x ， 1BC ，对角线AC 与 BD 的夹角 45BOC   ，记直线 AB 与 CD 的距离为 ()hx ． 求 ()hx 的表达式，并写出 x 的取值范围． 10． （本题满分 14 分） 给定实数 1a ，求函数 ( sin ) ( 4 sin )() 1 sina x xfx x 的最小值． 11． （本题满分 16 分） 正实数 ,xyz 满足 94xyz xy yz zx，求证： （ 1） 43xy yz zx   ； （ 2） 2x y z   ． OD CBA 22 12．（本题满分 16 分） 给定整数 ( 3)n ，记 ()fn为集合  1, 2, , 2 1n  的满足如下两个条件的子集 A的元素个数的最小值： （ a） 1 , 2 1nAA   ； （ b） A中的元素（除 1 外）均为 A中的另两个（可以相同）元素的和． （ 1）求 (3)f 的值； （ 2）求证： (100) 108f  ． 23 2020 年上海市高中数学竞赛答案 934 92 11    ,0 4 222()aa a b    3, 0 , 2, 2 25 4025 9． 解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 2 2 2 2 211( ) ( 1 )22O B O C A B B C x    ． ① „„„„„„„ （ 2 分） 在△ OBC 中，由余弦定理 2 2 2 2 c o sB C O B O C O B O C B O C    ， 所以 22 21O B O C O B O C   ， ② 由 ①，②得 2 122xOB OC ． ③ „„„„„„„ （ 5 分） 所以 14 4 sin2A B CD O B CS S O B O C B O C     2OB OC2 12x  ， 故 ()ABhx 2 12x ， 所以 2 1() 2xhx x ． „„„„„„„ （ 10 分） 由 ③可得， 2 10x  ，故 1x ． 因为 22 2O B O C O B O C  ，结合②，③可得 24。