20xx年全国各地中考数学压轴题专集答案圆(编辑修改稿)

20xx年全国各地中考数学压轴题专集答案圆(编辑修改稿)内容摘要：

（ FME︵ 是劣弧 ），且 EF＝ 5，将△ OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点 E、 F 重合 ． 在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个。 你能在其中找出另一个顶点也在 ⊙ O上的三角形吗。 请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与 △ OBC 的周长之比 ． 解：（ 1） ∵ AE 切 ⊙ O 于点 E， ∴ OE⊥ AE ∵ OB⊥ AT 于点 B， ∴ ∠ AEC＝ ∠ OBC＝ 90176。 又 ∵ ∠ ACE＝ ∠ OCB， ∴ △ ACE∽△ OCB ∴ ∠ COB＝ ∠ EAT＝ 30176。 （ 2）在 Rt△ AEC 中， CE＝ AE178。 tan30176。 ＝ 3 ∠ OCB＝ ∠ ACE＝ 60176。 设 BC＝ x，则 OB＝ 3x， OC＝ 2x 连接 ON，得 ( 3x )2＋ ( 22 )2＝ ( 2x＋ 3 )2 解得 x＝ 1 或 x＝ － 13（舍去），∴ x＝ 1 ∴ R＝ 2x＋ 3＝ 5 （ 3）这样的三角形有 3 个 画直径 FG，连接 GE ∵ EF＝ OE＝ OF＝ 5，∴ ∠ EFG＝ 60176。 ＝ ∠ BCO ∴△ GEF 即为所要画出的三角形 ∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又∵两个直角三角形斜边长 FG＝ 2R＝ 10， OC＝ 2 ∴△ GEF 与 △ OBC 的周长之比为 5 : 1 A B C E F M O N T A B C E F M O N T G (B′) (C′) (O′) 11． （浙江 台 州） 定义： P、 Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的 最小值 ． ． ． 叫做 线段 ． ． a． 与线 ． ．段 ． b． 的距离 ． ． ． ． 已知 O（ 0， 0）， A（ 4， 0）， B（ m， n）， C（ m＋ 4， n） 是平面直角坐标系中四点 ． （ 1）根据上述 定义，当 m＝ 2， n＝ 2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是 ___________； 当 m＝ 5， n＝ 2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段 AB 长）为 ___________． （ 2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离 记 为 d， 求 d 关于 m的函数解析式 ． （ 3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M． ① 求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长； ② 点 D 的坐标为（ 0， 2）， m ≥ 0， n ≥ 0． 作 MH⊥ x 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A， M， H为顶点的三角形与△ AOD 相似，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由 ． 解：（ 1） 2 （ 2）当 4≤ m ≤ 6 时，显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于⊙ A 半径，即 d＝ 2 当 2≤ m ＜ 4 时，作 BN⊥ x 轴于点 N，线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN 长 ∴ d＝ 2 2－ ( 4－ m )2 ＝ － m 2＋ 8m－ 12 ∴ d 关于 m 的函数解析式为： d＝  － m 2＋ 8m－ 12 （ 2≤ m ＜ 4）2（ 4≤ m ≤ 6） （ 3）①由题意可知，由线段 PE， EFG，线段 GK， KNP 所围成的封闭图形就是点 M 随线段 BC运动所围成的 A O B y x C （ 图 1） A O B y x C （ 图 2） A O y x （ 图 3） B C A O y x C （备用图 1） M A O y x （备 用图 2） A O y x B C B C N A O y x C M E B P N F K G ∴点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为： 2 π 2＋ 2 2 4＝ 16＋ 4π ②∵ m ≥ 0， n ≥ 0，∴点 M 随线段 BC 运动所形成图形的是线段 M0E 和 EF︵ 易知△ AOD 是两直角边为 1 : 2 的直角三角形 若△ AMH 与△ AOD 相似，则 MH HA ＝ 1 2 或 MH HA ＝ 2 当 2≤ m＋ 2＜ 4 时，显然 M1H1＞ H1A，∴ M1H1 H1A ＝ 2 ∵ M1H1＝ 2，∴ H1A＝ 1，∴ OH1＝ 3 ∴ m1＝ 3－ 2＝ 1 当 4≤ m＋ 2≤ 6 即 M2在线段 CE 上时，同理可求 m2＝ 5－ 2＝ 3 当 6＜ m＋ 2≤ 8 即 M3在线段 EF︵ 上时，∵ AH3≥ 2≥ M3H3，∴ M3H3 H3A ＝ 1 2 设 M3H3＝ x，则 AH3＝ 2x，∴ AH3＝ 2x－ 2 又∵ RH3＝ 2，∴ ( 2x－ 2 )2＋ x 2＝ 2 2，∴ x1＝ 8 5 ， x2＝ 0（不合题意，舍去） ∴ OH3＝ 4＋ 2x＝ 36 5 ， ∴ m3＝ 36 5 － 2＝ 26 5 综上可知，存在 m 的值使以 A， M， H 为顶点的三角形与△ AOD 相似 ，相应 m 的值为 1， 3， 26 5 12． （浙江 某校自主招生 ） 已知矩形 ABCD 中， AB＝ 2， AD＝ 5，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE、 CE，以 BE 为直径作⊙ O，交 BC 于点 F，过点 F 作 FH⊥ CE 于 H，直线 FH 交⊙ O 于点 G． （ 1）当直线 FH 与⊙ O 相切时， 求 AE 的长 ； （ 2）当 FH∥ BE 时， 求 FG 的长； （ 3） 在点 E 运动过程中， △ OFG 能否成为等腰直角 三角形。 如果能，求出此时 AE 的长 ； 如果不能，说明理由 ． 解：（ 1）连接 OF、 EF ∵ BE 是⊙ O 的直径，∴ ∠ BFE＝ 90176。 又 ∠ A＝ ∠ ABF＝ 90176。 ， ∴四边形 ABFE 为矩形 ∴ AE＝ BF， ∴ DE＝ CF ∵ FH 与⊙ O 相切， ∴ OF⊥ FH ∵ FH⊥ CE，∴ OF∥ CE ∵ BO＝ OE， ∴ BF＝ CF ∴ AE＝ DE＝ 1 2 AD＝ 5 2 （ 2） 作 OM⊥ FG 于 M，连接 OF ∵ FH∥ BE，∴ ∠ BEC＝ ∠ FHC＝ 90176。 B D B A C O F E H D B A C O F E H A O y x C M0 E B F M1 M2 M3 H3 H2 H1 R (D) x 易证△ ABE∽△ DEC，∴ AE DC ＝ AB DE 即 AE 2 ＝ 2 5－ AE ，解得 AE＝ 1 或 4 ①当 AE＝ 1 时， BF＝ 1， DE＝ CF＝ 4 ∴ BE＝ 5， CE＝ 2 5， OF＝ 5 2 由△ CFH∽△ CBE，得 CH＝ 8 5 5 ∴ OM＝ EH＝ CE－ CH＝ 2 5 5 ，∴ FM＝ OF 2－ OM 2 ＝ 3 5 10 ∴ FG＝ 2FM＝ 3 5 5 ②当 AE＝ 4 时， BF＝ 4， DE＝ CF＝ 1 ∴ BE＝ 2 5， CE＝ 5， OG＝ 5 由△ CFH∽△ CBE，得 CH＝ 5 5 ∴ OM＝ EH＝ CE－ CH＝ 4 5 5 ，∴ FM＝ OG 2－ OM 2 ＝ 3 5 5 ∴ FG＝ 2FM＝ 6 5 5 （ 3） 连 接 EF，设 AE＝ x 则 EF＝ AB＝ 2， BF＝ AE＝ x， CF＝ DE＝ 5－ x 若 △ OFG 是 等腰直角三角形 ， 则 ∠ FOG＝ 90176。 ① 当点 G 在点 F 上方时 连接 BG、 EG，设 BG、 EF 交于点 K，作 GM⊥ EF 于 M 则 ∠ FBG＝ ∠ FEG＝ 45176。 ∴ △ BFK 和△ EGK 都是等腰直角三角形 ∴ KF＝ BF＝ x， EK＝ 2－ x， GM＝ KM＝ 1 2 EK＝ 1－ 1 2 x FM＝ x＋ 1－ 1 2 x＝ 1＋ 1 2 x ∵ ∠ GFM＝ ∠ ECF＝ 90176。 － ∠ FEC ∴ Rt△ GMF∽ Rt△ EFC，∴ GM FM ＝ EF CF ∴ 1－ 1 2 x 1＋ 1 2 x ＝ 2 5－ x ，解得 x1＝ 9－ 57 2 ， x2＝ 9＋ 57 2 ＞ 5（舍去） ② 当点 G 在点 F 下方时 连接 BG、 EG， 设 BC、 EG 交于点 K，作 GM⊥ BF 于 M 则 ∠ GBF＝ ∠ GEF＝ 45176。 ∴ △ BGK 和△ EFK 都是等腰直角三角形 ∴ KF＝ EF＝ 2， EK＝ 2 2 BK＝ x－ 2， GM＝ KM＝ 1 2 ( x－ 2)， FM＝ 2＋ 1 2 ( x－ 2)＝ 1 2 ( x＋ 2) D B A C O F E H M G D B A C O F E H M G O D B A C H G E F M K D B A C H G E F K O M ∵ ∠ MFG＝ ∠ HFC＝ ∠ FEC＝ 90176。 － ∠ HCF ∴ Rt△ FMG∽ Rt△ EFC，∴ FM GM ＝ EF CF ∴ 1 2 ( x＋ 2) 1 2 ( x－ 2) ＝ 2 5－ x ，解得 x1＝ 1＋ 57 2 ， x2＝ 1－ 57 2 （舍去） 综上所述， △ OFG 能成为等腰直角 三角形 ，此时 AE 的长为 9－ 57 2 或 1＋ 57 2 13． （浙江模拟）在平面直角坐标系中，点 A（ 10， 0）、 B（ 6， 8），点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A、点 O 重合），以 PA 为半径的 ⊙ P 与线段 AB 的另一个交点为 C，作 CD⊥ OB 于 D（如图 1） ． （ 1）求证： CD 是 ⊙ P 的切线； （ 2）当 ⊙ P 与 OB 相切时，求 ⊙ P 的半径； （ 3）在（ 2）的条件下， 设 ⊙ P 与 OB 相切于点 E，连接 PB 交 CD 于 F（如图 2） ． ① 求 CF 的长； ② 在线段 DE 上是否存在点 G 使 ∠ GPF＝ 45176。 若存在，求出 EG 的长；若不存在，请说明理由 ． （ 1）证明：连接 PC，过 B 作 BN⊥ x 轴于 N ∵ PC＝ PA，∴ ∠ 1＝ ∠ 2 ∵ A（ 10， 0）， B（ 6， 8），∴ OA＝ 10， BN＝ 8， ON＝ 6 在 Rt△ OBN 中， OB＝ ON 2＋ BN 2 ＝ 6 2＋ 8 2 ＝ 10 ∴ OA＝ OB，∴ ∠ OBA＝ ∠ 1 ∴ ∠ OBA＝ ∠ 2，∴ PC∥ OB ∵ CD⊥ OB，∴ CD⊥ PC ∴ CD 是 ⊙ P 的切线 （ 2）解：设 ⊙ P 的半径为 r ∵ ⊙ P 与 OB 相切于点 E，∴ OB⊥ PE ∴在 Rt△ OPE 中， sin∠ EOP＝ PE OP ＝ r 10－ r 在 Rt△ OBN 中， sin∠ BON＝ BN OB ＝ 8 10 ＝ 4 5 ∴ r 10－ r ＝ 4 5 ，解得 r＝ 40 9 A O P B D y x C 图 1 A O P B D y x C 图 2 E F A O P B D y x C N 1 2 A O P B D y x C E F N （ 3） ① 由（ 2）知 r＝ 40 9 ，∴ OP＝ 10－ 40 9 ＝ 50 9 ∴ OE＝ OP 2－ PE 2。