20xx年-20xx年考研数学三试题及解析(编辑修改稿)

20xx年-20xx年考研数学三试题及解析(编辑修改稿)内容摘要：

          83 （ 18）（本题满分 11 分） ① 证明拉格朗日中值定理，若函数 ()fx 在  ,ab上连续，在  ,ab上可导，则 ,ab ，得证  39。 ( ) ( ) ( )f b f a f b a  . ② 证明：若函数 ()fx在 0x 处连续，在  0, ,( 0) 内可导，且 39。 0lim ( )x f x A ，则39。 (0)f 存在，且 39。 (0)fA  . 【解析】（Ⅰ）作辅助函数 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f ax f x f a x aba    ，易验证 ()x 满足： ( ) ( )ab ； ()x 在 闭 区 间  ,ab 上 连 续 ， 在 开 区 间  ,ab 内 可 导 ， 且39。 39。 ( ) ( )( ) ( ) f b f ax f x ba  。 根据罗尔定理，可得在  ,ab 内至少有一点  ，使 39。 ( ) 0 ，即 39。 ()f  39。 ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b f a f b aba       （Ⅱ）任取 0 (0, )x  ，则函数 ()fx满足； 在闭区间  00,x 上连续，开区间  00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在   0 00, 0,x x，使得  039。 00( ) ( 0)0x f x ff x  …… * 又由于  39。 0limx f x A ，对上式（ *式）两边取 0 0x  时的极限可得：     00000039。 39。 39。 0 0 00( ) 00 l im l im ( ) l im ( )0xxxxxf x ff f f Ax         故 39。 (0)f 存在，且 39。 (0)fA 。 （ 19）（本题满分 10 分） 设曲线 ()y f x ，其中 ()y f x 是可导函数，且 ( ) 0fx .已知曲线 ()y f x 与直线0, 1yx及 ( 1)x t t所围成的曲边梯形，绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边 梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。 【解析】旋转体的体积为 22( ) ( )11xxttV f dx f dx 曲边梯形的面积为：()1 xts f dx，则由题可知 22( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x x x xt t t tV ts f d x t f d x f d x t f d x          两边对 t 求导可得 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11t x t t t xttf f d x tf f tf f d x     继续求导可得 39。 39。 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t tf t f t  ，化简可得 39。 1( 2 ( ) ) ( ) 2 ( ) 12dtf t t f t f t td y y    ，解之得 12 23t c y y   在 式中 令 1t ，则 2 ( 1 ) ( 1 ) 0 , ( ) 0 , ( 1 ) 1f f f t f    ，代入 12 23t cy y得1 1 1, ( 2 )33c t yy   。 所以该曲线方程为： 12 3 0yxy  。 （ 20）（本题满分 11 分） 设 1 1 1A = 1 1 10 4 2,1112 ① 求满足 21A ， 2 31A 的所有向量 2 ， 3 . ② 对 ① 中的任意向量 2 , 3 证明 1 , 2 , 3 线性无关。 【解析】（Ⅰ）解方程 21A  11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 10 4 2 2 0 2 1 1 0 0 0 0A                                        ( ) 2rA 故有一个自由变量， 令 3 2x ，由 0Ax 解得， 211, 1xx  求特解，令 120xx，得 3 1x 故21101021k                  ，其中 1k 为任意常数 解方程 2 31A 22 2 02 2 04 4 0A    2 111 1 02 2 0 1 2, 2 2 0 1 0 0 0 04 4 0 2 0 0 0 0A       故有两个自由变量，令 2 1x ，由 2 0Ax 得 131, 0xx 求特解 21200 故 3211 21000k    ，其中 2k 为任意常数 （Ⅱ）证明： 由于121 2 1 2 1 2 1 2 2 11112 111 2 ( 2 1 ) ( ) 2 ( ) ( 2 1 )222 2 1 0kkk k k k k k k k k kk          1 02 故 1 2 3,  线性无关 . （ 21）（本题满分 11 分） 设二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3( , , ) ( 1 ) 2 2f x x x a x a x a x x x x x      ① 求二次型 f 的矩阵的所有特征值。 ② 若二次型 1 2 3( , , )f x x x 的规范型为 2211yy ，求 a 的值。 【解析】（Ⅰ） 01011 1 1aAaa 01 10| | 0 1 ( ) 1 1 1 11 1 1a aaE A a a aa               222( ) [ ( ) ( 1 ) 1 ] [ 0 ( ) ]( ) [ ( ) ( 1 ) 2]( ) [ 2 2]19( ) { [ ( 1 2 ) ] }24( ) ( 2) ( 1 )a a a aa a aa a a aa a aa a a                                       1 2 3, 2 , 1a a a        （Ⅱ） 若规范形为 2212yy ，说明有两个特征值为正，一个为 0。 则 1) 若 1 0a ，则 2 20   ， 3 1 ，不符题意 2) 若 2 0 ，即 2a ，则 1 20 ， 3 30 ，符合 3) 若 3 0 ，即 1a ，则 1 10   ， 2 30   ，不符题意 综上所述，故 2a （ 22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( , )XY 的概率密度为 0( , )0xe y xf x y    其 他 ① 求条件概率密度 ()YXf yx ② 求条件概率 11P X Y     【解析】 （ I）由 0( , )0x yxef x y    其 它 得其边缘密度函数 0( ) 0x xxxf x e d y xe x    故 | ( , ) 1( | ) 0()yx xf x yf y x y xf x x     即 |1( | )0yxyxf y x x       其 它 （ II） [ 1 , 1 ][ 1 | 1 ][ 1 ]P X YP X Y PY    而 1110 0 011[ 1 , 1 ] ( , ) 1 2x xxxyP X Y f x y dx dy dx e dy x e dx e            ( ) | , 0x x yY yf y e d x e e yy          1 1101[ 1 ] | 1 10yyP Y e dy e e e              111 2 2[ 1 | 1 ] 11eeP X Y      （ 23）（本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 X 、Y 、 Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ① 求 10P X Z   . ② 求二维随机变量 ( , )XY 的概率分布 . 【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球， 2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 1211332 4( 1 0 ) 9CP X Z CC     （Ⅱ） X， Y 取值范围为 0， 1， 2，故              1 1 1 13 3 2 31 1 1 16 6 6 61112 2 31 1 1 16 6 6 61122116611221166110 , 0 , 1 , 0461 1 12 , 0 , 0 , 136 311 , 1 , 2 , 1 0910 , 291 , 2 0 , 2 , 2 0C C C CP X Y P X YC C C CCCCP X Y P X YC C C CCCP X Y P X YCCCCP X YCCP X Y P X Y                             X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题： 1～ 8小题，每小题 4分，共 32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . (1) 若011lim ( ) 1xx aexx  ， 则 a 等于 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 (2) 设 1y ， 2y 是一阶线性非齐次微分方程 39。 ( ) ( )y p x y q x x的两个特解，若常数  ，u 使 12y uy  是该方程的。