20xx-20xx年浙江11市中考数学专题18：综合问题(编辑修改稿)

20xx-20xx年浙江11市中考数学专题18：综合问题(编辑修改稿)内容摘要：

过点 A作 AH⊥ x轴于点 y=x2 (x0)上取点 P，在 y 轴上取点 Q，使得以 P， O， Q 为顶点的三 角形与 △ AOH 全等，则符合条件的点 A的坐标是 ▲ . 【答案】 3133（ ， ） ， 33（ ， ） ， 2 3 2 （ ， ） ， 2 3 233 （ ， ）。 【考点】 二次函数综合题，曲 线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值， 分类思想的应用。 【分析】 由 题 意，根据锐角三角函数可知： A的横坐标是纵坐标的 3 倍，故设 A的坐标为 3t t（ ， ）。 分四种情况讨论： ① 当 ∠ POQ=∠ OAH=60176。 ， ∠ PQO=∠ OHA=90176。 ，若以 P， O， Q为顶点的三角形与 △ AOH 全等， 即 △ AOH≌ △ OPQ， 如图 1， 那么 A、 P重合 ， ∴ P 3t t（ ， ） ，代入 y=x2得 2t=3t。 ∵ x0，∴ 1t=3。 ∴ A 3133（ ， ）。 ② 当 ∠ POQ=∠ AOH=30176。 ， ∠ PQO=∠ AHO=90176。 ，若以 P， O， Q 为顶点的三角形与 △ AOH 全等， 即 △ AOH≌ △ POQ， 如图 2， ∴ P t 3t（ ， ） ，代入 y=x2得 23t=t。 ∵ x0，∴ t=3。 ∴ A 33（ ， ）。 ③ 当 ∠ POQ=∠ AOH=30176。 ， ∠ QPO=∠ AHO=90176。 ，若以 P， O， Q为顶点的三角形与 △ AOH 全等， 即 △ AOH≌ △ QOP， 如图 3， ∵ OP=OH= 3t ，∴ DP= 3t2 ， OD=3t2 ∴ P 33tt22（ ， ） ，代入 y=x2得 233t= t24。 ∵ x0，∴ t=2。 ∴ A 2 3 2 （ ， ）。 ④ 当 ∠ POQ=∠ OAH=60176。 ， ∠ OPQ=∠ OHA=90176。 ，若以 P， O，Q 为顶点的三角形与 △ AOH 全等， 即 △ AOH≌ △ OQP， 如图 4， ∵ OP=AH=t ，∴ EP= 3t2 ， OH=1t2。 ∴ P 31tt22（ ， ） ，代入 y=x2得 213t= t24。 ∵ x0，∴ 2t=3。 ∴ A 2 3 233 （ ， ）。 综上可知：符合条件的点 A有四个，坐标为： 3133（ ， ） ， 33（ ， ） ， 2 3 2 （ ， ） ， 2 3 233 （ ， ）。 6.（ 2020 年 浙江衢州 4 分） 如图， DB 为半圆的直径， A 为 BD 延长线上一点， AC 切半圆于点 E， BC⊥ AC于点 C，交半圆于点 F．已知 BD=2，设 AD=x， CF=y，则 y 关于 x的函数解析式是 ▲ ． 【答案】 xy x1 。 【考点】 由实际问题列函数关系式，圆周角定理，切线的性质， 矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】 连接 DF、 OE，过点 D 作 DG⊥ AC 于点 G， ∵∠ C=∠ CGD=∠ CFD=90176。 ， ∴ 四边形 CGDF 是矩形。 ∴ DG=CF=y。 ∵ OE∥ DG， ∴△ AOE∽△ ADG。 ∴ OE DGAO AD ，即 1yx 1 x ，即 xy x1 。 7.（ 2020 年 浙江舟山、嘉兴 5 分） 在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个 圆的圆心在原点，半径等于 5，那么这个圆上的格点有 ▲ 个． 【答案】 12。 【考点】 网格问题，点的坐标，勾股定理，分类思想的应用。 【分析】 坐标轴上到圆心距离为 5 的点有 4 个，由勾股定理，四个象限中，到圆心距离为 5 的点有 3 个，共l2 个，如图所示： 8.（ 2020年 浙江 金华、 丽水 4分） 如图，将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中， B（ 2， 0）， ∠ AOB=60176。 ，点 A在第一象限，过点 A的双曲 线为 ky x ．在 x 轴上取一点 P，过点 P 作直线 OA的垂线 l，以直线 l为对称轴，线段 OB 经轴对称变换后的像是 O180。 B180。 ． （ 1）当点 O180。 与点 A重合时，点 P 的坐标是 ▲ ； （ 2）设 P（ t， 0），当 O180。 B180。 与双曲线有交点时， t 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 （ 4， 0）， 4≤t≤2 5 或﹣ 2 5 ≤t≤4。 【考点】 反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】 （ 1）当点 O180。 与点 A重合时，即点 O 与点 A重合， ∵∠ AOB=60176。 ，过点 P 作直线 OA的垂线 l，以直线 l为对称轴，线段 OB 经轴对称变 换后的像是 O180。 B180。 AP′=OP′， ∴△ AOP′是等边三角形。 ∵ B（ 2， 0）， ∴ BO=BP′=2。 ∴ 点 P 的坐标是（ 4， 0）。 （ 2） ∵∠ AOB=60176。 ， ∠ P′MO=90176。 ， ∴∠ MP′O=30176。 ∴ OM=12 t， OO′=t。 过 O′作 O′N⊥ x 轴于 N， ∠ OO′N=30176。 ， ∴ ON=12 t， NO′= 32 t。 ∴ O′（ 12 t， 32 t）。 同法可求 B′的坐标是（ t2 , 3t 2 32  ）， 设直线 O′B′的解析式是 y kx b，将 O′、 B′的坐标代入，得 13tk b = t22t2k b = 3 t 2 32  ，解得：23k t 2 323 3 3b t +42  。 ∴ 23 3 3 3y t 2 3 x t +2 4 2  。 ∵∠ ABO=90176。 ， ∠ AOB=60176。 ， OB=2， ∴ OA=4， AB=2 3 ， ∴ A（ 2， 2 3 ），代入反比例函数的解析式得： k =4 3 ， ∴ 43y x ，代入上式整理得：（ 2 3 t﹣ 8 3 ） x 2+（﹣ 3 t2+6 3 t） x ﹣ 4 3 =0， △ =（﹣ 3 t2+6 3 t） 2﹣ 4（ 2 3 t﹣ 8 3 ） •（﹣ 4 3 ） ≥0， 解得： t≤2 5 或 t≥﹣ 2 5。 ∵ 当点 O180。 与点 A重合时，点 P 的坐标是（ 4， 0）。 ∴ 4≤t≤2 5 或﹣ 2 5 ≤t≤4。 9.（ 2020年浙江 温州 5分） 如图，已知动点 A在函数 4y=x(xo)的图象上， AB⊥ x轴于点 B， AC⊥ y 轴于点C，延长 CA至点 D，使 AD=AB，延长 BA 至点Ｅ，使 AE= DE 分别交 x 轴， y 轴于点 P, QE：DP=4:9 时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _. 【答案】 133。 【考点】 反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】 过点 D作 DG⊥ x轴于点 G，过点 E 作 EF⊥ y轴于点 F。 ∵ A在函数 4y=x (xo)的图象上， ∴ 设 A（ t， 4t ）， 则 AD=AB=DG=4t ， AE=AC=EF=t。 在 Rt△ ADE 中，由勾股定理，得 42 2 2 24 t + 1 6D E A D A E ttt    。 ∵△ EFQ∽△ DAE， ∴ QE： DE=EF： AD。 ∴ QE= 4t t +164。 ∵△ ADE∽△ GPD， ∴ DE： PD=AE： DG。 ∴ DP= 434 t +16t。 又 ∵ QE： DP=4： 9， ∴ 443t t +1 6 4 t +1 6 494t ： ：。 解得 2 8t 3。 ∴ 图中阴影部分的面积 = 2 2 221 1 1 1 1 6 4 1 3A C A B t 32 2 2 2 t 3 3      。 10.（ 2020年浙江 衢州 4分） 如图，在菱形 ABCD中，边长为 10， ∠ A=60176。 ．顺次连结菱形 ABCD各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去 …．则四边形 A2B2C2D2的周长是 ▲ ；四边形 A2020B2020C2020D2020的周长是 ▲ ． 【答案】 20；20205 5 32。 【考点】 探索规律题（图形的变化类）， 菱形 、矩形的判定和性质， 三角形中位线 定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】 根据菱形 、矩形的判定和性质 以及三角形中位线的性质以及 锐角三角函数定义 求出四边形各边长得出规律求出即可 ： ∵ 菱形 ABCD 中，边长为 10， ∠ A=60176。 ，顺次 连结菱形 ABCD 各边中点， ∴△ AA1D1是等边三角形，四边形 A1B1C1D1是菱形，四边形 A2B2C2D2是菱形。 ∴ A1D1=5， AC=103 ， C1D1=12 AC=53， A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5。 ∴ 四边形 A2B2C2D2的周长是： 54=20。 同理可得出： A3D3= 152 ， C3D3= 211AC 5 322 ； A5D5= 2152， C5D5= 3211A C 5 322         ； …… A2020D2020= 2 0 1 3 1 10062115522           ， C2020D2020=2 0 1 3 1 10062115 3 5 322           。 ∴ 四边形 （矩形） A2020B2020C2020D2020的周长是： 1 0 0 6 1 0 0 62 0 0 51 1 5 5 32 5 5 32 2 2             。 三、解答题 【 版 江 泰 州 元 工 作 室 所 有 ， 必 究 】权 归 苏 锦 数 学 邹 强 转 载 1.（ 2020 年 浙江杭州 12 分） 在 ΔABC中， AB=AC， D 为 BC 上一点，由 D 分别作 DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC 于 F；设 DE=a ， DF=b ，且实数 a ， b 满足 229a 24ab 16b 0  ，并有 2a b 62 256 ； ∠ A使得方程 213x x s i n 3 s i 044A n A    有两个相等的实数根 （ 1）试求实数 a ， b 的值； （ 2）试求线段 BC 的长。 【答案】 解：（ 1） ∵ 2a b 62 256 ， ∴ 2a b 4822。 ∴ a2b=48。 由 229a 24ab 16b 0  得：  23a 4b 0，则 3a－ 4b=0，即 3a=4b。 ∴ 由23a 4ba b 48 解得 a4b3。 （ 2） ∵ 关于 x的方程 213x x s i n A 3 s i n A 044    有两个相等的实数根， ∴ 方程根的判别式 22 33s in A 3 s in A s in A 042      。 ∴ sinA= 32。 ∵∠ A为三角形的一个内角， ∴∠ A=60176。 或 ∠ A=120176。 当 ∠ A=60176。 时， △ ABC 为等边三角形， ∴∠ B=∠ C=60176。 ∴ 分别在 Rt△ BDE 和 Rt△ CDF 中有 4 8 3 3B D CD 2 3sin 6 0 3 sin 6 0   。 ∴ BC=BD+DC=1433。 当 ∠ A=120176。 时， △ ABC 为等腰三角形， ∠ B=∠ C=30176。 同上方法可得 BC=14。 综上所述，线段 BC 的长为 1433 或 14。 【考点】 同底幂 的性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形， 锐角三角函数定义， 特殊角的三角函数值，等腰（边）三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】 （ 1）由题意可知： 2a b 62 256 ，则 2a b 4822 ，则 a2b=48。 化简 229a 24ab 16b 0  得：  23a 4b 0，则 3a－ 4b=0，即 3a=4b。 则根据 23a 4ba b 48 可求得 a 与 b 的值。 （ 2）要求 BC 的。