20xx-20xx年浙江11市中考数学专题12：最值问题(编辑修改稿)

20xx-20xx年浙江11市中考数学专题12：最值问题(编辑修改稿)内容摘要：

案】 解：（ 1） 43。 （ 2） 2x 2x ， 1， l8。 （ 3）设 AB 长为 xm，则 BC 为 l nx3 , ∴ 2l n x n lS x x x3 3 3    ， ∴ 当 x= l2n 时， S 最大。 【考点】 探索规律题（图形的变化类），二次函数的应用。 【分析】 （ 1）当 AB=1 时， BC= 6 2 433  ，长方形框架 ABCD 的 面积是： 441 33。 （ 2）当 AB=x时， BC= 6 3x 2x3  ，长方形框架 ABCD 的面积为   2S x 2 x x 2 x    ， 当  2x121 时， 长方形框架 ABCD 的面积Ｓ最大，为 S=1。 在图案 3 中，如果铝合金材料总长度为 lm，设 AB 为 xm，则 BC=l 4x3 ， 2l 4 x 4 lS x x x3 3 3    ， 当l l3x 482( )3  时，长方形框架 ABCD 的面积 S 最大。 （ 3）如果铝合金材料总长度为 lm 共有 n 条竖档时，则 BC=l nx3 ， 2l n x n lS x x x3 3 3    ， 当l l3x n2n2( )3  时，长方形框架 ABCD 的面积最大。 6.（ 2020年 浙江金华 14 分） 如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 0， 4 3 ），点 B 在 x正半轴上，且 ∠ ABO=30度．动点 P 在线段 AB 上从点 A向点 B 以每秒 3 个单位的速度运动，设运动时间为 t秒．在 x轴上取两点M， N 作等边 △ PMN． （ 1）求直线 AB 的解析式； （ 2）求等边 △ PMN 的边长（用 t 的代数式表示），并求出当等边 △ PMN 的顶点 M 运动到与原点 O 重合时 t的值； （ 3）如果取 OB 的中点 D，以 OD 为边在 Rt△ AOB 内部作如图 2 所示的矩形 ODCE，点 C 在线段 AB 上．设等边 △ PMN和矩形 ODCE重叠部分的面积为 S，请求出当 0≤t≤2秒时 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值． 【答案】 解：（ 1）由 OA=4 3 ， ∠ ABO=30176。 ，得到 OB=12， ∴ B（ 12， 0）。 设直线 AB 解析式为 y kx b， 把 A和 B 坐标代入得： b 4 312k b 0  ，解得： 3k 3b 4 3 。 ∴ 直线 AB 的解析式为： 3y x 4 33 。 （ 2） ∵∠ AOB=90176。 ， ∠ ABO=30176。 ， ∴ AB=2OA=8 3。 ∵ AP= 3t ， ∴ BP=AB－ AP=。 ∵△ PMN 是等边三角形， ∴∠ MPB=90176。 ∵ PMtan PBM PB， ∴ PM=  38 3 3t =8 t3  ，即等边 △ PMN 的边长为 8t。 当点 M 与点 O 重合时， ∵∠ BAO=60176。 ， ∴ AO=2AP。 ∴ 4 3=2 3t。 ∴ t=2。 ∴ 当点 M 与点 O 重合时， t=2。 （ 3） ① 当 0≤t≤1时，见图 1， 设 PN交 EC 于点 H，重叠部分为直角梯形 EONG，作 GH⊥ OB 于 H。 ∵ 点 D 是 OB的中点，即 BD=6， ∴ GH=CD=2 3。 ∵∠ GNH=60176。 ， ∴ HN=2。 ∵ 等边 △ PMN 的边长为 8t ， ∴ BM=16－ 2t。 ∵ OB=12， ∴    O N 8 t 1 6 2 t 1 2 4 t      。 ∴ O H O N H N 4 t 2 2 t E G       。 ∴ 1S 2 t 4 t 2 3 2 3 t 6 32      （ ）。 ∵ S 随 t 的增大而增大， ∴ 当 t=1 时， Smax=8 3。 ② 当 1＜ t＜ 2 时，见图 2， 设 PM 交 EC 于点 I，交 EO 于点 F， PN 交 EC 于点G，重叠部分为五边形 OFIGN，作 GH⊥ OB 于 H。 ∵ FO 4 3 2 3t， ∴ E F 2 3 ( 4 3 2 3 t ) 2 3 t 2 3    。 ∴ EI 2t 2。 ∴   2F E IONGE 1S S S 2 3 t 6 3 2 t 2 2 3 t 2 3 2 3 t 6 3 t 4 32          梯 形 （ ）。 ∵ 23 ＜ 0， ∴ 当 3t 2 时， S 有最大值，max 17 3S 2。 ③ 当 t=2 时，见图 3， MP=MN=6，即 N 与 D 重合， 设 PM交 EC 于 点 I， PD 交 EC 于点 G，重叠部 分为等腰梯形 IMNG， 2233S 6 2 8 344    。 综上所述：    22 3 t 6 3 0 t 1S 2 3 t 6 3 t 4 3 1 t 28 3 t= 2      。 ∵ 1732 ＞ 83， ∴ S 的最大值是 1732。 【考点】 二次函数综合题，动点和动面问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系， 等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，函 数的最值，分类思想的应用。 【分析】 （ 1）先在直角三角形 AOB 中，根据 ∠ ABO 的度数和 OA 的长，求出 OB 的长，即可得出 B 点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线 AB 的解析式。 （ 2）求等边三角形的边长就是求出 PM 的长，可在直角三角形 PMB 中，用 t 表示出 BP 的长，然后根据 ∠ ABO 的度数，求出 PM 的长。 当 M、 O 重合时，可在直角三角形 AOP 中，根据 OA的长求出 AP 的长，然后根据 P 点的速度即可求出 t 的值。 （ 3）本题要分情况进行讨论： ① 当 N 在 D 点左侧且 E 在 PM 右侧或在 PM 上时，即当 0≤t≤1时，重合部分是直角梯形 EGNO。 ② 当 N 在 D 点左侧且 E 在 PM 左侧时，即当 1＜ t＜ 2 时，此时重复部分为五边形，其面积可用FEIONGESS梯 形 来求得。 ③ 当 N、 D 重合时，即 t=2 时，此时 M、 O 也重合，此时重合部分为等腰梯形。 根据上述三种情况，可以得出三种不同的关于重合部分面积与 t 的函数关系式，从而可根据函数的性质和各自的自变量的取值范围求出对应的 S 的最大值。 7.（ 2020 年 浙江衢州 12 分） 如图，顶点为 D 的抛物线 2y x bx 3   与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交 于点 C，连结 BC，已知 tan∠ ABC=1。 （ 1）求点 B 的坐标及抛物线 2y x bx 3   的解析式； （ 2）在 x轴上找一点 P,使 △ CDP 的周长最小，并求出点 P 的坐标； （ 3）若点 E（ x， y）是抛物线上不同于 A,B,C 的任意一点，设以 A,B,C,E 为顶点的四边形的面积为 S,求 S 与x之间的函数关系式。 【答案】 解：（ 1）在 2y x bx 3   中，令 x=0，得 y=－ 3。 ∴ C（ 0，－ 3）， OB=3。 ∵ tan∠ ABC=1， ∴ OC： OB=1， ∴ OB=OC=3。 ∴ B（ 3， 0）。 把 B（ 3， 0）代入 2y x bx 3   ，得 20 3 3b 3   ，解得： b=－ 2。 ∴ 抛物线的解析式为 2y x 2x 3  。 （ 2）作点 C 关于 x轴的对称点 C1，连接 C1D 与 x轴交于点 P，则点 P 即为所求。 ∵  22y x 2 x 3 x 1 4     ， ∴ D（ 1，－ 4）。 ∵ C（ 0，－ 3）， ∴ C1（ 0， 3）。 设 C1D 的解析式为 y=kx+b ， 则 k+b= 4b=3 ，解得 k=7b=3。 ∴ C1D 的解析式为 y= 7x+3。 令 y=0，解得 3x=7。 ∴ P（ 37 ， 0）。 ∴ 在 x轴上的点 P（ 37 ， 0）， 使 △ CDP 的周长最小。 （ 3）在 2y x 2x 3   中，令 y=0，得 x=－ 1 或 x=3。 ∴ A（－ 1， 0）， AB=4。 当 x3 时，点 E 在第一象限，如图 1，此时 x 0 y 0，  22A B E A B C 1S S S 4 x 2 x 3 3 2 x 4 x2         。 当 0 x 3时，点 E 在第四象限，如图 2，此时 x 0 y 0，     A O C O C E F B E F2 2 2S S S S1 1 1 3 91 3 3 x 2 x 3 x 3 x x 2 x 3 x x 62 2 2 2 2                           。 当 1 x 0 时，点 E 在第三象限，如图 3，此时 x 0 y 0，        A E F O CE F O B C2 2 2S S S S1 1 1 1 1x 1 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 3 3 x x 62 2 2 2 2                             。 当 x1 时，点 E 在第二象限，如图 4，此时 x 0 y 0，  22A B E A B C 1S S S 4 x 2 x 3 3 2 x 4 x2         。 综上所述， S 与 x之间的函数关系式为：    2222 x 4 x x 3 x 139S x x 6 0 x 32211x x 6 x 122      或。 【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，轴对称的应用（最短线路问题），由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。 【分析】 （ 1）欲求点 B 的坐标，由 tan∠ ABC=1，知 OB=OC，只需知道 C 点的坐标，根据抛物线的解析式知C（ 0，－ 3），从而可 求点 B的坐标。 把点 B的坐标代入 2y x bx 3   ，求出 b 的值，得到抛物线的解析式。 （ 2） CD 的长一定，可找 C 点关于 x轴的对应点 C1，则有 CP=C1P， CP+PD 最短，即 D、 P、 C1 三点一线，求出 C1D 的解析式，令 y=0 即可得出 △ CDP 的周长最小的点 P 的坐标。 （ 3）分 x3 ， 0 x 3， 1 x 0 ， x1 讨论即可。 8.（ 2020 年 浙江湖州 12 分） 已知：在矩形 AOBC 中， OB=4， OA=3．分别以 OB， OA 所在直线为 x 轴和 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． F是边 BC上的一个动点（不与 B， C 重合），过 F点的反比例函数 ky x（ k＞ 0）的图象与 AC 边交于点 E． （ 1）求证： △ AOE 与 △ BOF 的面积相等； （ 2）记 OEF ECFS S S － ，求当 k 为何值时， S 有最大值，最大值为多少。 （ 3）请探索：是否存在这样的点 F，使得将 △ CEF 沿 EF 对折后， C 点恰好落在 OB 上。 若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 解 ：（ 1）证明：设 E（ x1， y1）， F（ x2， y2）， △ AOE 与 △ FOB 的面积分别为 S1， S2， ∵ E 点、 F 点在反比例函数 ky x （ k＞ 0）的图象上， ∴1212kky , yxx。 ∴1 1 1 2 2 21 1 1 1S x y k S x y k2 2 2 2     。 ∴ S1=S2，即 △ AOE 与 △ FOB 的面积相等。 （ 2）由题意知 E， F 两点坐标分别为 kkE 3 F 434          ， ， ， ∴E C F 1 1 k kS E C C F 4 32 2 3 4              。 ∴E O F A O B C A O E B O F E C F E C F。