20xx-20xx年浙江11市中考数学专题10：存在性问题(编辑修改稿)

20xx-20xx年浙江11市中考数学专题10：存在性问题(编辑修改稿)内容摘要：

x 33y 3x  ，解得：3x433y4  。 ∴ P3（ 3 3 344 ， ）。 ④ 若 ∠ OPB=900， ∠ BOP=600，则 △ OBA∽△ POB， 过点 P 作 PH⊥ x轴， 在含 30 度角的 Rt△ POB 中， OB= 3 ，则 OP= 32 ， ∴ 在含 30 度角的 Rt△ POB 中， HP= 34 ， OH=34。 ∴ P4（ 3344 ， ）。 综上所述，符合条件的点有四个：（ 3， 3 ），（ 1， 3 ），（ 3 3 344 ， ），（ 3344 ， ）。 【考点】 一次函数综合题，动点问题， 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，待定系数法，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】 （ 1）用待定系数法求解。 （ 2）因为 点 C为线段 AB 上的一动点， 所以可设 点 C 的坐标为 3d, d 33 ，从而根据条件 S 梯形 OBCD＝ 433 列方程求解。 （ 3）分 ∠ OBP=900 和 ∠ OPB=900 两种情况，每种情况又分 ∠ BOP=600 和 ∠ BOP=300 两种情况讨论。 8.（ 2020 年 浙江衢州 14 分） 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB=6， BC=22， ∠ A=45186。 ，以 AB 所在直线为 x轴， A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形 ABCD 饶 A点按顺时针方向旋转 90186。 得到等腰梯形 OEFG（ O﹑ E﹑ F﹑ G 分别是 A﹑ B﹑ C﹑ D 旋转后的对应点）（图 1） 教育网 （ 1）写出 C﹑ F 两点的坐标。 （ 2）等腰梯形 ABCD 沿 x轴的负半轴平行移动，设移动后的 OA=x（图 2），等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 OEFG重叠部分的面积为 y，当点 D 移动到等腰梯形 OEFG 的内部时，求 y 与 x之间的关系式。 （ 3）线段 DC 上是否存在点 P，使 EFP 为等腰三角形。 若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】 解：（ 1） C 点的坐标为（ 4， 2）， F 点的坐标为（－ 2， 4）。 （ 2）当点 D移动到等腰梯形 OEFG的内部时， 2＜ x＜ 4，如图， ∵ 重合部分是四边形 ONDH，它的面积等于梯形 DNOA的面积减去 △ OHA的面积，梯形 DNOA上底为 x－ 2，下底为 x，高为 2，△ OHA的底边为 x，高为 1x2 ， ∴ 2x 2 x 1 1 1y 2 x x x 2 x 22 2 2 4        。 ∴ 当点 D 移动到等腰梯形 OEFG 的内部时， y 与 x 之间的关系式为 21y x 2x 24   （ 2＜ x＜ 4）。 （ 3）存在。 易得 F（－ 2， 4）， E（ 0， 6）， EF=BC=22，设 P（ p， 2）（ 2≤p≤4）， 根据勾股定理，得      2 2 22 2 2E P p 6 2 p 1 6 F P p 2 4 2 p 4 p 8           ， 若 EP=FP，则 22p 16 p 4p 8   ，解得： p=2。 若 EP=EF，则 2p 16 2 2 ，即 2p8 ，方程无解。 若 FP=EF，则 2p 4p 8 2 2   ，解得： p=0 或 p=4。 都不符合 2≤p≤4，舍去。 综上所述， 线段 DC 上存在点 P，使 EFP 为等腰三角形，点 P 坐标为（ 2， 2）。 教育网 【考点】 平移和旋转问题，等腰梯形的性质，由实际问题列函数关系式，等腰三角形的判定，勾股定理，分类思想的应用。 【分析】 （ 1）如图，过点 C 作 CM⊥ AB 于点 M， ∵ 在等腰梯形 ABCD 中， AB=6， BC=22， ∠ A=45186。 ， ∴ CM=BM=2， OM=4。 ∴ C 点的坐标为（ 4， 2）。 根据旋转的性质， F 点的横坐标是 C点纵坐标的相反数， F 点的纵坐标等于 C 点横坐标， EP=EF， ∴ F 点的坐标为（－ 2， 4）。 （ 2）根据重合部分四边形 ONDH 的面积等于梯形 DNOA的面积减去 △ OHA的面积列式即可。 （ 3）分 EP=FP， EP=EF， FP=EF 讨论即可。 9.（ 2020年 浙江湖州 10分） 在 88 的正方形网 格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知 A(2， 4)， B(4， 2)。 C 是第一象限内的一个格点，由点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底，且腰长为无理数的等腰三角形。 （ 1）填空： C 点的坐标是 ， △ ABC 的面积是 ； （ 2）将 △ ABC 绕点 C 旋转 180176。 得到 △ A1B1C1，连结 AB BA1，试判断四边形 AB1A1B 是何种特殊四边形，请说明理由； （ 3）请探究：在 x 轴上是否存在这样的点 P，使四边形 ABOP 的面积等于 △ ABC 面积的 2 倍。 若存在，请直接写出点 P 的坐标 (不必写 出解答过程 )；若不存在，请说明理由。 【答案】 解：（ 1）（ 1， 1）， 4。 （ 2）四边形 AB1A1B 是矩形。 理由如下： 教育网 ∵ AC=A1C， BC=B1C， ∴ 四边形 AB1A1B 平行四边形。 又 ∵ AC=BC， ∴ AA1=BB1。 ∴ 四边形 AB1A1B 是矩形。 （ 3）存在。 点 P 的坐标为（ 2， 0），（－ 1， 0）。 【考点】 网格 问题， 等腰三角形的性质， 勾股定理， 旋转的性质， 矩形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。 【分析】 （ 1）此点应在 AB 的垂直平分线上，在第一象限，腰长又是无理数，只有是点（ 1， 1）。 从 A， B 向 x 轴引垂线，把所求的三角形的面积分为一个直角三角形和一个直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积。 （ 2）旋转 180176。 后可得新四边形的对角线互相平分，那么先判断是平行四边形，然后根据等腰三角形的性质得到对角线相等，那么所求的四边形是矩形。 （ 3）根据平行四边形的性质，结合（ 1）中的方法解答易得四边形 ABOP 的面积等于 8． 同（ 1）中的方法得到三点 A， B， O 构成的面积为 6。 当 P 在 O 左边时， △ APO 的面积应为 2，高为 4，那么底边长为 1，所以 P（－ 1， 0）； 当 P 在 O右边时， △ BOP 的面积应为 2，高为 2，所以底边长为 2，此时 P 坐标为（ 2， 0）。 故点 P 的坐标为（ 2， 0），（－ 1， 0）。 10.（ 2020年 浙江湖州 12分） 如图， P 是射线 y＝ 35 x(x＞ 0)上的一动点，以 P 为圆心的圆与 y 轴相切于 C 点，与 x轴的正半轴交于 A、 B 两点。 （ 1）若 ⊙ P 的半径为 5，则 P 点坐标是 ( ， )； A点坐标是 ( ， )；以 P 为顶点，且经过 A点的抛物线的解析式是 ； （ 2）在（ 1）的条件下，上述抛物线是否经过点 C 关于原点的对称点 D，请说明理由； （ 3）试问：是否存在这样的直线 l，当 P 在运动过程中，经过 A、 B、 C三点的抛物线的顶点都在直线 l上。 若存在，请求出直线 l的解析式；若不存在，请说明理由。 教育网 【答案】 解：（ 1） P（ 5， 3）； A（ 1， 0）；   23y x 5 316   。 （ 2） C 点关于原点的对称点 8 的坐标为（ 0，－ 3）， ∵ 当ｘ＝ 0 时，  23 2 7y 0 5 31 6 1 6     ， ∴ D 点不在抛物线  23y x 5 316   上。 （ 3） 存在。 设 P（ m， 3m5 ）， m＞ 0， 过点 P 作 PQ⊥ AB，垂足为 Q，则 AQ=BQ， ∵ PA=PC=m， PQ=3m5 ， ∴ AQ=4m5。 ∴ A（ 1m5 ， 0)， B（ 9m5 ， 0）， C（ 0， 3m5 ）。 设经过 A， B， C 三点的抛物线的解析式为 19y a x m x m55        ， 将 C（ 0， 3m5 ） 代入解析式，得： 3 1 9m a 0 m 0 m5 5 5        ，解得： 5a 3m。 ∴ 经过 A， B， C 三点的抛物线的解析式为 5 1 9y x m x m3 m 5 5        。 ∵   225 1 9 5 1 0 3 5 1 6y x m x m x x m x m m3 m 5 5 3 m 3 5 3 m 1 5                 ， ∴ 抛物线的顶点坐标为（ 16m, m15 ）。 教育网 ∴ 存在直线 l： 16yx15 ，当 P 在射线 3yx5 上运动时，过 A， B， C 三 点着抛物线着顶点都在直线上。 【考点】 一、二次函数综合题， 动点问题，直线与圆相切的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。 【分析】 （ 1） ∵ 圆的半径为 5，且 圆与 y 轴相切， ∴ P 点的横坐标为 5。 ∵ P 点在射线 3yx5 上， ∴ P 点的纵坐标为 3。 ∴ P（ 5， 3）。 连接 PA，过 P 作 PM⊥ BA于 M，则 AP=5， PM=3， ∴ 根据勾股定理可得： AM=4。 ∵ OM=5， ∴ OA=1。 ∴ A（ 1， 0）。 设 以 P 为顶点，经过 A点的抛物线的解析式为  2y a x 5 3   ， 将 A（ 1， 0）代入，得  20 a 1 5 3   ，解得： 3a 16。 ∴ 以 P 为顶点，经过 A点的抛物线的解析式为  23y x 5 316   。 （ 2）因为 以 P 为圆心的圆与 y 轴相切于 C 点，所以 C（ 0， 3），从而得 D（ 0，－ 3），代入（ 1） 的抛物线的解析式即可判断出 D 点是否在抛物线上。 （ 3）仿照（ 1）的解题过程进行求解．可先根据直线 OP 的解析式设出 P 点的坐标，然 后用 P 点 的横坐标仿照（ 1）的方法求出 A， B 两点的坐标，然后用待定系数法求出过 A， B， C 三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式。 11.（ 2020年 浙江衢州 14分） 如图，点 B1（ 1， y1）， B2（ 2， y2）， B3（ 3， y3） … ， Bn（ n， yn）（ n是正整数）依次为一次函数 11yx4 12的图像上的点， 点 A1（ x1， 0）， A2（ x2， 0）， A3（ x3， 0）， … ， An（ xn， 0）（ n是正整数）依次是 x轴正半轴上的点，已知 x1=a（ 0＜ a＜ 1） ， △ A1B1A2， △ A2B2A3， △ A3B3A4… ， △ AnBnAn+1分别是以 B1， B2， B3， … ， Bn 为顶点的等腰三角形． （ 1）写出 B2， Bn两点的坐标； （ 2）求 x2， x3（用含 a 的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论； 教育网 （ 3）当 a（ 0＜ a＜ 1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形。 若存在，求出相应的 a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 解：（ 1） B2（ 2， 712 ）， Bn（ n， n14 12 ）。 （ 2） 23x 2 a x 2 a   ，。 结论 1：顶点为 B1， B3， B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于 2－ 2a； 结论 2：顶点为 B2， B4， B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于 2a； 结论 3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数 2。 （ 3）设第 n 个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高 yn的 2 倍，由第（ 2）小题的结论可知： 当 n 为奇数时 ,有 n12 2a 24 12  ,化简得 : 11n 4 a (0 a 1)3     ∴ 1 11n33   ，即 n=1 或 3。 ∴ 21a 36 或。 当 n 为偶数时 ,有 n12a 24 12,化简得 : 1n 4a (0 a 1)3   。 ∴ 1 11n33   ，即 n=2。 ∴ 7a 12。