随机过程的基本概念(编辑修改稿)

随机过程的基本概念(编辑修改稿)内容摘要：

}0)0()({  XtXP tetXP  }0)({首页 这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列 ， 且都具有相同均值为 的指数分布。 例 3 nT （ 1n ）/1甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从 10分钟 1辆（甲）， 15分钟 1辆（乙）的泊松分布。 假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。 解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布 )(1 tX 和 )(2 tX 的生起率分别为 10/11  ， 15/12 下面证明两路车混合到达过程 服从生起率为 )(tX21   的泊松分布首页 事实上 且 所以由泊松过程的定义可知 因此 )( tX = )(1 tX + )(2 tX 是独立增量)()( tXstX  是相互独立地服从泊松分布的随机变量)()( 11 tXstX  及 )()( 22 tXstX  的和，)(tX 服从均值为 s 的泊松分布。 )( tX 服从生起率为 6/115/110/1  的泊松过程。 由定理 1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为 6分钟的指数分布。 再由指数分布的无记忆性， 这位乘客的等待时间也服从均值为 6分钟的指数分布。 首页 定理 2 其概率密度为 设 { )( tX ， 0t } 为泊松过程，证 则等待时间 nW （ 1n ）服从 ),( n 分布，)( tf)!1()( 1nte nt  ， 0t因为 事件 }{ tW n  等价于事件 { ntX )( }所以 nW 的分布函数为}{)( tWPtF n  })({ ntXP tnkkekt   !)( 0t 首页 于是 nW 的概率密度为)()( tFtf  tnkkek t    )!1( )(1tnkkekt   )!( )(tnen t   )!1()( 1 tnkkek t   11)!1()(tnkkekt   )!( )()!1()( 1nte nt  首页 三 、 维纳过程 1．定义 则称 或布朗运动过程 如果随机过程 { )( tX ， ),0[  Tt } 满足（ 1 ） 0)0( X（ 2 ） )( tX 是齐次的独立增量过程（ 3 ）对于每一个 0t ，有 )( tX  ),0( 2 tN  随机过程 )( tX 为维纳过程当 1 时，称为标准维纳过程 特别 首页 2． 均值 、 方差 、 协方差及相关函数 均值 协方差及相关函数 证 0)]([ tXE方差 ttXD 2)]([  ),( 21 ttK ),( 21 ttR ),m i n ( 212 tt由定义可得 均值、方差公式 首页 下证 ),( 21 ttK ),( 21 ttR ),m i n ( 212 tt当 21 tt  时)]()([),( 2121 tXtXEttR )[({ 1tXE )()( 12 tXtX  ]+ )( 12 tX })]([ 12 tXE )]0()({[ 1 XtXE  [ )()( 12 tXtX  ]})]([ 1tXD 12 t同理 当 12 tt  时 ),(21 ttR 22 t 故 ),m i n (),( 21221 ttttR 显然 ),(21 ttK ),( 21 ttR首页 3． 对任意 nttt , 21  ，  210 tt  nt维纳过程 )( tX 有)()( 1 ii tXtX  ))(,0( 12  ii ttN  ， ni ,2,1 证 由于增量 )()( 1 ii tXtX ， ni ,2,1 是相互独立的正态变量。 所以 )]()([ 1 ii tXtXE0)]([)]([ 1  ii tXEtXE首页 )]()([ 1 ii tXtXD })]()({[ 21 ii tXtXE)]()()(2)([ 1212   iiii tXtXtXtXE)]([)]()([2)]([ 1212   iiii tXEtXtXEtXEit2 122  it 12  itii tt 1)( 12  ii tt首页 4． 具有马氏性 证 因此 所以 因 )( tX 是维纳过程增量 )()( sXstX  与时刻 s 以前的状态)( X ( s 0 ) 独立，xsXastXP  )(|)({ ， )( X ， s 0 }xsXxasXstXP  )(|)()({ ， )( X ，s 0 }xsXxasXstXP  )(|)()({ }xsXastXP  )(|)({ }所以维纳过程是马氏过程。 首页 例 4 试求 的协方差函数。 且 解 设 { )( tW ， 0t } 是一个维纳过程，0)0( W )()( tWltW  （ 0l 常数）),( 21 ttK ))()([( 11 tWltWE  ) ) ]()(( 22 tWltW )]()([ tWltWE )]()([ 21 ltWtWE )]()([ 21 tWltWE  )]()([21 tWtWE),m i n ( 212 ltlt   ),m i n ( 212 ltt  ),m i n ( 212 tlt   ),m i n ( 212 tt)(tm 0)]()([ 21 ltWltWE 首页 当 21 tt  时，可得 ),( 21 ttK1221212),(,0ttltltttl当 21 tt  ，可得),( 21 ttK2112221),(,0ttltltttl所以 ),( 21 ttK||| ) ,|(||,02121221ttlttlttl首页 四 、 正态过程 1．定义 为 n维正态分布 ， 其密度函数为 也称高斯过程 则称 设 { )( tX , Rt  } 是一随机过程，对任意正整数 n 及 Rttt n , 21  ，随机变量 )( 1tX , )( 2tX ,„ , )( ntX 的联合分布函数),,( 2121 nn xxxtttf  ；)}()(21e xp {||)2( 1 12/12/ mxKmxKn  )( tX 为正态过程 首页 其中 nxxxx21)()()(21ntmtmtmm),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnttKttKttKttKttKttKttKttKttKK且 )]([)( ii tXEtm )]}()()][()({[),( jjiiji tmtXtmtXEttK  ),( ij ttKK为协方差矩阵 1K 是 K 的逆矩阵)(  mx 表示 )( mx  的转置矩阵首页 注 2． 维纳过程是正态过程 由正态过程的 n维概率密度表达式知 ， 正态过程的统计特性 ， 由它的均值函数 及自协方差函数 完全确定。 由维纳过程定义知 )(tm),( 21 ttK设 { )( tX , 0t } 是一维纳过程，0)0( X对任意 nttt  21 ，)( 1tX（ , )( 2tX )( 1tX ,„ , ）)()( 1 nn tXtX服从 n维正态分布 首页 故知 )( 1tX（ , )( 2tX ,„ , ）)( ntX)( 1tX（ , )( 2tX )( 1tX ,„ , ）)()( 1 nn tXtX100110111)( 1tX（ , )( 2tX ,„ , ）)( ntX 服从 n 维正态分布，所以 )( tX为正态过程又因 首页 例 5 证 可得 设 { )( tX , Rt  } 是一个独立的正态过程，则其协方差函数 0),( 21 ttK （ 21 tt  ）。 若 21 tt  ，)( 1tX 与 )( 2tX 相互独立，)()()]()([),( 212121 tmtmtXtXEttK 0)()()()( 2121  tmtmtEXtEX注 逆命题也成立 返回 首页 第三章 马尔可夫过程 第一节 马尔可夫链的定义及其性质 第二节 马尔可夫链的状态分类 第三节 平稳分布与遍历性 第四节 时间连续的马尔可夫链 习题课 第一节 马尔可夫链的定义及其性质 一、马尔可夫链的定义 1．马尔可夫链 设随机过程 { )( tX , Tt  } ，其中时间 T = { 0 , 1 ,„ } ，状态空间 I = { 0 , 1 , 2 ,„ } ，若对任一时刻 n ，以及任意状态 jiiii n ,, 110  ，有,)1(,)(|)1({ 1 ninXinXjnXP })0(,)1(, 01 iXiX })(|)1({ inXjnXP 则称 { )( tX , Tt  } 为一个马尔可夫链 （或马氏链）简记为 { nX , 0n }首页 注 : 而与以前的状态 表明 )( tX 在时刻 n +1 的状态 jnX  )1( 的概率分布只与时刻 n 的状态 inX )( 有关，1)1(  ninX ，„， 0)0( iX  无关。 有限马氏链 状态空间是有限集 I={0,1,2,… ， k} 2．一步转移概率 马氏链在时刻 n处于状态 i 的条件下，到时刻 n+1转移到状态 j 的条件概率， 即 }|{1 iXjXP nn 称为在时刻 n的一步转移概率， 记作 )( np ij首页 注 : 由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步转移后，必到达状态空间中的某个状态 一步转移概率满足 3．一步转移矩阵 称为在时刻 n的一步转移矩阵 （ 1 ） 0)( np ij , Iji ,（ 2 ） 1)( np ijIj, Ii 如果固定时刻 Tn 则由一步转移概率为元素构成的矩阵 1P ：首页 即有 有限马氏链 状态空间 I={0， 1， 2， … ， k} )()()()()()(10111001001npnpnpnpnpnpPnn)()()()()()()()()(1011110001001npnpnpnpnpnpnpnpnpPkkkkkk首页 4．齐次马氏链 即 则称此马氏链为齐次马氏链（即关于时间为齐次） 如果马氏链的一步转移概率 )( np ij 与 n 无关，ijnn piXjXP  }|{ 15．初始分布 设 }{)(00 iXPip  ， Ii  ，如果对一切 Ii  都有0)(0 ip 1)(0 ipIi称 )(0。