概率论与数理统计方差分析与回归分析(编辑修改稿)

概率论与数理统计方差分析与回归分析(编辑修改稿)内容摘要：

其中    jiijij （ sjri ,1。 ,1   ），称 ij 为水平 Ai 和水平 Bj 的交互效应， 这是由 Ai 与 Bj 搭配联合起作用而引起的。 易见 ,1,01 risj ij   ri ij1 0 ， j=1， 2， ， s， 从而前述数学模型可改写为 ),0~ 2i  ，（， NX ijkijkijjijk  .,1。 ,1。 ,1 tksjriijk  相互独立，各         ri sj ri sj ijijji` 1 1 1 ,0,0,0,0  其中  ，  i ， j ，  ij 及  2 都是未知参数 . 假设检验为 ： (1)   不全为零rA rAHH   ,: ,0: 211 210   (2)   不全为零sB sBHH   ,: ,0: 211 210   (3)   不全为零。 rsBA rsBAHH   ,: ,0: 12111 12110   与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =rst1   risjtk ijkX1 1 1， X ij = tk ijkXt 11 ， i=1， 2， ， r， j=1， 2， ， s， X i =  sjtk ijkXst 1 11 ， i=1， 2， ， r， X j =  ritk ijkXrt 1 11 ， j=1， 2， ， s。 称总偏差平方和（称为总变差）为 ST =   risjtk ijk XX1 1 12)(。 上式可分解为 ST =SE +SA +SB +S BA 其中 SE =   risjtk ijijk XX1 1 12)( ， SA =st  ri i XX12)( , SB = rt  sj j XX12)( , S BA = t    risj jiij XXXX1 12)( 同样，我们仍 SE 称为误差平方和， SA ， SB 分别称为因素 A、因素 B 的偏差平方和，S BA 称为 A， B 交互偏差平方和 . 类似地，可以证明当 AH0 、 BH0 、 BAH0 成立时，有 1) ,, 22222  EBABAT SSSSS 分别服从自 由度依次为 )1(),1)(1(,1,1,1  trssrsrrst 的 2 分布， 2) EBABAT SSSSS ,  相互独立。 3. 检验方法 当 AH0 为真时，可以证明 FA =))1(( )1( trsS rSE A~ ))。 1(,1(  trsrF 取显著性水平为  ，得假设 AH0 的拒绝域为 FA =))1(( )1( trsS rSE A  ))。 1(,1(  trsrF 类似地 ，当 BH0 为真时，可以证明 FB =))1(( )1( trsS sSE B~ ))。 1(,1(  trssF 取显著性水平为  ，得假设 BH0 的拒绝域为 FB =))1(( )1( trsS sSE B  ))。 1(,1(  trssF 类似地，当 BAH0 为真时，可以证明 F BA =))1(( )1)(1(   trsS srS EBA~ ))。 1(),1)(1((  trssrF 取显著性水平为  ，得假设 BH0 的拒绝域为 F BA =))1(( )1)(1(   trsS srS EBA  ) )。 1(),1)(1((  trssrF 实际分析中，常采用如下简便算法和记号： T=   risjtk ij XrstX1 1 1 , T ij =tk ijkX1, i=1， 2， ， r， j=1， 2， ， s， Ti = sjtk ijkX1 1， i=1， 2， ， r， T j = ritk ijkX1 1， j=1， 2， ， s. 则 ST =  risjtk ijkX1 1 12 rstT2 , SA =st1  ri iT12 rstT2 , SB =rt1  sj jT12 rstT2 , S BA =   risj ij rstTTt1 1221 ,BA SS  , SE = ,BABAT SSSS  可得如下方差分析表： 表 825 有重复试验双因素方差分析表 1)1()1()1)(1()1)(1(1111rstStrsSStrsSSSFsrSSsrSSSFsSSsSBSSFrSSrSAFTEEEEBABABABABAEBBBBBEAAAAA总和误差交互作用因素因素比均方和自由度平方和方差来源 例题选讲： 无 重复试验双因素方差分析 例 1 (讲义例 1) 设四名工人操作机器 321 , AAA 各一天 , 其日产量如表 所示 , 问不同机器或不同工人对日产量是否有显著影响 (  )? 表 823 1B 2B 3B 4B 1A 50 47 47 53 2A 53 54 57 58 3A 52 42 41 48 例 2 下面给出了在某 5 个不同地点，不同时间空气中的颗粒状物（以 mg/m3 计）的含量的数据： 因素 B （地点） 1 2 3 4 5 iT 因素A时间 1995 年 10月 76 67 81 56 51 331 1996 年 1 月 82 69 96 59 70 376 1996 年 5 月 68 59 67 54 42 290 1996 年 8 月 63 56 64 58 37 278 jT 289 251 308 227 200 1275 试在水平  下检验 . 在不同时间的颗粒状物含量的均值有无显著差异 . 等 重复试验双因素方差分析 例 3 (讲义例 2) 在某种金属材料的生产过程中 , 对热处理温度 (因素 B)与时间 (因素 A)各取两个水平 , 产品强度的测定结果 (相对值 )如表 所示 . 在同一条件下每个实验重复两次 . 设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同 . 各样本独立 . 问热处理温度 , 时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响 (取  )? 表 8— 2— 6 工 人 日 产 量 机 器 B A 1B 2B ..iT 1A 2A 172 ..jT 175 例 4 为了保证某零件镀铬的质量 , 需重点考察通电方法和液温的影响 . 通电方法选取三个水平 : 1A (现行方法 ), 2A (改进方案一 ), 3A (改进方案二 )。 液温选取两个水平 : 1B (现行温度 ), 2B (增加 10℃ ))。 每个水平组合进行两次试验 , 所得结果如表 (指标值以大为好 ). 问通电 方法、液温和它们的交互作用对该质量指标有无显著影响 ( ) ? 1B 2B 1A 2A 3A 1010 1010 第三节 一元线性回归 在客观世界中 , 普遍存在着变量之间的关系 .数学的一个重要作用就是从数量上来揭示、表达和分析这些关系。 而变量之间关系 , 一般可分为确定的和非确定的两类 . 确定性关系可用函数关系表示 , 而非确定性关系则不然 . 例如 , 人的身高和体重的关系、人的血压 和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额间的关系等 , 它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。 我们称这类非确定性关系为相关关系。 具有相关关系的变量虽然不具有确定的函数关系，但是可以借助函数关系来表示它们之间的统计规律，这种近似地表示它们之间的相关关系的函数被称为回归函数。 回归分析是研究两个或两个以上变量相关关系的一种重要的统计方法。 在实际中最简单的情形是由两个变量组成的关系。 考虑用下列模型表示 )(xfY . 但是，由于两个变量之间不存在确定的函数关系， 因此必须把随机波动考虑进去，故引入模型如下  )(xfY 其中 Y 是随机变量， x 是普通变量，  是随机变量（称为随机误差）。 回归分析就是根据已得的试验结果以及以往的经验来建立统计模型，并研究变量间的相关关系，建立起变量之间关系的近似表达式，即经验公式，并由此对相应的变量进行预测和控制等。 本节主要介绍一元线性回归模型估计、检验以及相应的预测和控制等问题。 因 素 B 指 标 值 因 素 A 内容分布图示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 一元线性回归模型 ★ 最小二乘估计 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 最小二乘估计的性质 ★ 回归方程的检验假设 ★ 总偏差平方和的分解 ★ 回归方程的检验方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 预测问题 ★ 例 5 ★ 控制问题 ★ 可化一元线性回归的情形 ★ 例 6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 83 ★ 返回 内容要点： 一、引例 为了研究某一化学反应过程中温度 x 对产品得率 Y 的影响 . 测得数据如下 : 89857874706661545145%/ 190180170160150140130120200100/iiy Cx温度温度 试研究这些数据所蕴藏的规律性 . 二、一元线性回归模型 一般地 ,当随机变量。