有理函数和可化为有理函数的不定积分(编辑修改稿)

有理函数和可化为有理函数的不定积分(编辑修改稿)内容摘要：

2 c o sx x xxxx x x x22c o s d2 d c o s 21 2 c o s c o s 1 2x t txx x t t     .dc os2s i n 2s i n2  xxx x求例 5 22sin 2 2 sin c o s ( i) ,sin 2 c o s sin 2 c o sx x xx x x x由于 满足情形解 返回 后页 前页 22 2 22 2 2 d ( 1 2 ) 2 dd1 2 1 2 2 ( 1 )t t t ttt t t t t             2 1 2 1ln 1 2 ln2 2 1tt t Ct    2 1 2 1 c osln 1 2 c os c os ln .2 2 1 c osxx x Cx    返回 后页 前页 222 2 2 2 222d 1 se c dsi n c os t anx x xba x b x axa 2 2 221 d ( t an ) 1ar c t an t ant anx a axCbbaa bxa   1 ar c t an t an .a xCab b .)0(,c oss i n d 2222  abxbxa x求例 6 t a n ,tx因此可设解 ( iii ) ,由 于 被 积 函 数 满 足 情 形返回 后页 前页 1. ( , ) d ( 0 )n ax bR x xc x d ad bc  型 不 定 积 分,.n ax bt c x d 令 可化为有理函数的积分四、某些无理函数的不定积分 .)2()1(d3 2  xxx求例 7 解 由于 3 23 2 1( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ,2xx x xx    返回 后页 前页 3233 3 21 1 2 9, , d d .2 1 ( 1 )x t tt x x tx tt   因 此 令 则323 2d 3 1 2dd1 1 1( 1 ) ( 2 )xtt t t txx       221 1 2 3 dln 1 d2 1 2 1324ttttttt     21 1 2l n 1 l n ( 1 ) 3 ar c t an2 3tt t t C       返回 后页 前页 3 33 ln 2 12 xx    .)1(d4 3  xxx求例 8 4 43dd.1( 1 )xxxxxxx解 3 323123 ar c t an .32xx Cx   返回 后页 前页 344 4 21 1 4 d, , d ,1 ( 1 )x t tt x xx t t  设 则244d4d11xtttxxx22112d11 ttt1l n 2 arc t an1t tCt  444111ln 2 ar c t an .11xxxCxxx  返回 后页 前页 型不定积分 22. ( , ) dR x ax bx c x22224( ) ,124b ac bax bx c a xaa     由方 于法,44,2 222abackabxu 若记2a x b x c则 化为2 2 2 2 2 2( i ) ( ) , ( i i ) ( ) , ( i i i ) ( ) .a u k a u k a k u  或或时也可直接化为有理函数的不定积分 . 可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分 ,有 返回 后页 前页 因此可分别设把它们转化为三角函数有理式的不定积分 . ( ii ) s e c。 u k t ( ii i ) s in .u k t ( i ) t a n。 u k t 方法 2 (欧拉变换 ) 2( a ) 0,。 a ax bx c t a x    若令2( b ) 0 ,。 c ax bx c xt c    若令2( c ) , ,a x b x c 若 有两个不同实根 令).(2  xtcbxax返回 后页 前页 .32d2  xxx x求例 9 解 用方法 1: 221dd( 1 ) 4 ( 1 ) 4xuxux x u u   2 se c 2 sec t an dd( 2 sec 1 ) 2 t an 2 c osu       2d23xx x x返回 后页 前页 22 222t an221dd1 321t tttt tt  2 arc t an33t C21ar c t an ( t an ) .233 Csin t a nt a n2 1 c o s se c 1  由于  2 221 23,2 1 1u xxux 返回 后页 前页 22d 2 2 3ar c t an .3 3 ( 1 )23x x x Cxx x x得22 : 2 3 ,x x x t   用方法 令 则   2223 2 3, d d ,2 ( 1 ) 2 ( 1 )t t tx x tt t.)1(2 )32()1(2 332222ttttttxx返回 后页 前页 22 2 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 d3 ( 2 3 ) 2 ( 1 )t t t t tt t t t       。