数学分析之函数的连续性(编辑修改稿)

数学分析之函数的连续性(编辑修改稿)内容摘要：

1 ,g u u u因 为 在 连 续 所 以.112)s i n2(lims i n2lim 10   x xx x xx例 3 .)11s i n(lim xx x求解 1lim ( 1 ) e , sin e ,xxuux  因 为 在 点 连 续所以 .es i n)11s i n(lim xx x.0))1(lims i n ()1s i n (lim 2121   xx xx).1s i n (lim 21 xx 求例 1 22s in ( 1 ) ( ) s in , ( 1 )x g u u u x   可 视 为 的 复解 合，所以 均有 使得对一切 存在 , 0 D x D x   ),)()(()()( 00 xfxfxfxf [ , ] , .ab 上的整体性质 证明将在第七章里给出.],[ 上连续在闭区间设 baf 在本节中将研究 f 在 二、闭区间上连续函数的性质 定义 1 ( ) .f x D设 为 定 义 在 数 集 上 的 一 个 函 数若 ( ) ( ) ,f x D则 称 在 上 有 最 大 小 值0 ()x 称 为 最 大 小 值0( ) ( ) ( ) .f x f x D称 为 在 上 的 最 大 小 值点 , 的最大值不存在 ,最小值为零 .注意 : ][ xxy 既无最大值 ,又无最小值 . 22yx π πsin ( , )在 上定理 （最大、最小值定理） ()fx若 函 数 在 闭 区[ , ]ab间 上连续， ( ) [ , ] .f x a b则 在 上有最大、最小值xy sgn例如 ,符号函数 的最大值为 1,最小值为 1。 xy s i n正弦函数 的最大值为 1,最小值为 1。 函数 (其上确界为 1, 下确界为 1 ) 这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的 内涵 ,在今后的学习中有很广泛的应用 . 推论 )(,],[)( xfbaxf 则上连续在闭区间若函数.],[ 上有界在 ba( 0 , 1 ) .在 上 无 界()fx函数 有最大、最小这是因为由定理 可知 , 值 , 从而有上界与下界 ,于是 f (x) 在 [a, b] 上 是有 1( ) , ( 0 , 1 )f x xx函 数 虽然也是连续函数 ,但是 界的 . 这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性 定理 （介值性定理） ],[)( baxf 在闭区间设函数( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,f a f b f b f a   间 的 任 一 数 或.)( 0 xf.)()( bfaf 且 ( ) ( )f a f b若 是 介 于 与 之上连续 , 使得,),(0 bax 则 (至少 )存在一点 质有着根本的区别 . 从几何上看 ,当连续曲线 从水平直线 ()y f x y 的一侧穿到另一侧时 , 两者至少有一个交点 . ()y f xyxo)(af)(bfa b0x 推论 （ 根的存在性定理） ,],[)( 上连续在若 baxf0)( 0 xf则至少存在一点 ,0)()(  bfaf ,0x 使 ,)()( xxfxF .0))(())(()()(  bbfaafbFaF则( ) , ( ) .a f a f b b现 设 作辅助函数证 .)(,)( bbfafa 由条件知.则结论成立 ( ) ( ) ,a f a b f b若 或( ) [ , ] ,f x a b因 在 上 连 续( ) [ , ] .F x a b故 在 上也连续.)( 00 xxf ),(0 bax 由介值性定理，存在 0( ) 0Fx 使 ，即 0 0 0[ , ] , ( ) .x a b f x x存 在 使例 4 .],[]),([],[ babafbaf 上连续，在设 求证 : 证 不妨设 f (x) 严格增 , 那么 )](,)([ bfaf 就是反 上连续 , 且 与 f (x) 有相同的单调性 . )(1 xf 定理 若函数 f (x) 在 ab[ , ] 上严格单调且连续 , 1 ( ) [ ( ) , ( ) ]y f x f a f b 在f b f a[ ( ) , ( ) ]或则反函数 三、反函数的连续性 函数 的定义域 . )(1 yfx 1 ( ) [ ( ) , ( ) ]x f y f a f b 在 上 严 格 增1. (证明见定 理 ). 2. 1 ( ) [ ( ) , ( ) ] .x f y f a f b 在 上 连 续(如图所示 ) .0 bxa 则),()( 0 bfyaf  ,)( 010 yfx 令,0y对于任意O xya b()fa()fb0x0y① 每一 ② 对应 1y2y0x e 0x e③ 任给 ⑤ 取  m i n 2 0 0 1,y y y y  ④ 对应 ),()()( 21111 yfyfyf  .)()( 0101 ee   yfyyf即时，当 )()( 2020 yyyyy  e类似地证明该函数在端点的连续性 .  1 ( ) ( ) , ( )x f y f a f b 在这就说明了 上连续 . ,)(,)( 0201 ee  xfyxfy,0},m i n { 1002  yyyy令设, 00 bxxa  eee对于任意的正数 且严格增 . 关于其它的反三角函数 ,c otar c,ar c t an,ar c c os xyxyxy 均可得到在定义域内连续的结论 . 例 5 ( ) si n 22f x x  由 于 在 ， 上 连 续 且 严 格 增 ， 因此它的反函数 a r c s in [ 1 , 1 ]yx 在上也是连续 严格增 . 例 6 ( ) [ 0 )ny x n  由 于 为 正 整 数 在 ， 上连续且严 在 上亦为连续且 nxy 1格增 , 那么其反函数 ),0[ 12| ( ) ( ) | ,f x f x e只要 就有 12| | ,xx  四、一致连续性 任意的正数 0e 0 , 使得对任意 ,存在 1 , 2 ,x x I定义 2. 设 为定义在区间 I上的函数 , 如果对于 ()fx则称 在区间 I上一致连续 . ()fx例 7 ( ) [ 1 , ) .f x x  证明 在 上一致连续证 有因为对任意的 ,),1[, 21 xx|,||||| 12211221 xxxxxxxx 0 , ,e  e所以对任意的正数 只要取 当12||xx  时 ，1 2 2 1| | | | ,x x x x e   [ 1 ) .x 所 以 在 ， 上 一 致 连 续证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在区 例 8 1 ( 0 , 1 ) .y x证明 在 内不一致连续1 2 1 2, , | | ,x x I x x   虽 然但仍有 .|)()(| 021 e xfxf1 , ( 0 , 1 )yxx现在来验证函数 确实不是一致 连续的 . 0 0 , ( )e  存在 对任意正数 无论 多么小，总有 间 I上 不一致连续 的定义： ),。