数学分析之定积分的应用(编辑修改稿)

数学分析之定积分的应用(编辑修改稿)内容摘要：

22204 ( ) ( ) ds x t y t t因 此   π 2222204 3 c o s sin 3 sin c o s da t t a t t t  π201 2 sin c o s da t t t π220s i n122ta .6a例 1 33c o s , s in , [ 0 , 2 π ]x a t y a t t  求 星 形 线.的 周 长xyO a 200e e e e1 d d .22x x a aaas y x x   因 此ee [ 0 , ] .2xxya求 悬 链 线 在 上 的 一 段 弧 长例 2 解 ee ,2xxy 22 ( e e )1.4xxy例 3 求阿基米德螺线 ar  )0( a 上相应于 从 0 到 2 的弧长 . 解  drrs   )()( 22 .)412l n(4122 22  a  20a  d12 解 12 ,yx 所求弧长为 dxxs ba  1].)1()1[(32 2323 ab a b例 4 计算曲线 2332xy  上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的长度 . 例 5 求极坐标系下曲线33si n  ar的长 ， 0 , 0 3 .a   解  drrs   )()( 22313c o s3si n32 ar ,3c o s3s i n 2   a.23 a daa242623c o s3s i n3s i n   30 d23s in   30a1s对于不同的曲线 , 其弯曲程度一般不同 . 例如： A B BA12..A B A B s sA39。 B39。 2B39。 A*二、平面曲线的曲率 A A39。 B B39。 o ss.ss相同 曲线的弯曲程度与其 切线方向变化的夹角 的大小及其弧长 有关 . s结论： y x o A 将 sK  B  s任意弧段 AB = = R ， 有 s  1 .Ks R R  称为曲线段 AB 的 平均曲率 ，它刻画了一段曲线的平均弯曲程度 . O A B R 对于 半径为 R的圆 ， ,0 sK 对于直线 , 其切线方向不变 , 即 , 有 0同一条曲线的不同点处 , 曲线弯曲的程度可能不同 . Def : 曲线在 A 点的 曲率 为 0l im .sdKd s s其中 为点 A及其邻点 B之间弧长 , 为 AB上切线 方向变化的角度 . 曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度 . s .故 “ 直线不曲”曲率半径与曲率圆 对半径为 R 的圆 , .1,1 KRRK Def : 曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的 曲率半径，记作 1 .K 几何意义： 如图，在 A点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取 一点 O，使得 OA= (曲线在 A点的曲率半径 ). 以 O为圆心， 为半径作一个圆，称之为曲线在 A点的曲率圆 .   A Ao 曲率中心 曲率圆与曲线在 A点具有以下关系 : ⑴ 有共同的切线，即圆与曲线在点 A 相切； ⑵ 有相同的曲率； ⑶ 圆和曲线在点 A 具有相同的一阶和二阶导数 . 表明： 讨论 y = f (x) 在某点 x 的性质时，若此性质仅 与 x , y , 有关，则只要讨论曲线在 x 点的曲率圆 的性质，即可知这曲线在 x 点附近的性质 . yy ,2 2 3 2 .()x y x yKxy   若曲线由 表示 ,则 ()y f x2 3 2 .( 1 )yKy例 6 求椭圆 上曲率 c o s , s in , 0 2 πx a t y b t t   解 由于 最大和最小的点 .          s in , ( ) c o s , c o s , s in ,x a t x t a t y b t y b t曲率计算公式 因此椭圆在各点的曲率为 322 2 2 2 3 2 2 2 2 2 .( sin c os ) ( ) sinab abKa t b t a b t b ma x min,.22abKKba当 时 , 在 处曲率最大 ,在 0ab 0, πt  π,2t 由例 1可得 ,若 则各点处曲率相等 , 为 ,a b R 3π2 处曲率最小 , 火车轨道从直道进入半径为 R 的 2va  不 发 生 跳 跃 式 的式 的 突 变 ).(使火车的向心加速度 以保证火车行驶安全 1,R道 (用虚线表示 ), 使得曲率由零连续地变到 圆形弯道时 ,为了行车安全 ,必须经过一段缓冲轨 例 7 如图所示 , O xyQRB00( , )A x y0( ,0)Cxl3,6 xy Rll OA其 中 是 的 弧 长 .对此曲线 用曲率公式求得 : OA圆 弧 轨 道 , 为 缓 冲 轨 道 .缓冲曲线常采用三次 ( 0 )x x A B R图 中 轴 表 示 直 线 轨 道 , 是 半 径 为 的 22322 2 48 .4R l xKR l x曲线 的曲 率从 0 渐渐增加到接近于 从而起到缓冲 1,R0001xx l KRR当 , 且 很 小 时 ,.因此曲线段 OA000x x K当 从 变 为 时 , 曲 率 从 连 续 地 变 为 2 2 2000 432 322 2 42 00288 1.4 4R l x l xKR xR l xlR  作用 . 例 8 求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径 . 2xy 解 .2,2  yxym a x m i n1( 0 , 0 ) , 2 , .2K 在点( | | ) ,x自原点逐渐上升 增大,)41( 2 2/32xK 2xy 随着曲线.2 )41(12/32xK.逐渐增大逐渐减小， Kx y O 1O2O2yxA 例 9 xyoQP■ .,.70,/400,)(4 0 0 02压力飞行员对座椅的到原点时求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米飞机沿抛物线vOxy解 如图 ,受力分析 ,PQF 视飞行员在点 o作匀速圆周运动 , .2mvF O点处抛物线轨道的曲率半径 00 2020   xxxy ,0 .202010  xy得曲率为 .202010  xxk 曲率半径为 .2020 米2 0 0 04 0 070 2 F560 0( ) 571 .4( ) , 牛 千 克 力),()(70 千克力千克力  Q).( 千克力即 :飞行员对座椅的压力为 . 作业 习题 1 167。 4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题 ,都可按 “ 分 导出旋转曲面面积的计算公式 . “微元法 ” 来处理 .本节将介绍微元法 , 量的积分形式 ,但在实际应用中又常用 割 ,近似代替 ,求和 ,取极限 ” 导出所求 ( ) ( ) d ,xax f t t  则 ( ) ( ) , d ( ) dx f x f x x  或, 且 ( ) 0 , ( ) ( ) d .baa b f x x 当 ],[ baf 为 上的连续函数时，令 一、微元法 现在恰好要把问题倒过来 : 若所求量 是分布在区 [ , ] ( ) ,a x a x b间 上 的  或者说它是该区间的端点 x 的函数 , 即 Δ () Δ ,f x x 其中 f 为某一连续函数 , 而且当 时 , 0xΔ () Δ ( Δ ) , ( ) ,f x x o x d f x dx  而且当 x = b 时 , )(b 适为最终所求的值 . 那么只要把 ( )dba f x x 计算出来 , 就是该问题所 ],[),( baxx  在任意小区间 上 , 若能把 的 [, Δ ] [ , ]x x x a b 微小增量 近似表示为 的线性形式 Δ ΔxΔ () Δ .f x x 在一般情况下 , 要严格检验 Δ () Δf x x 以上方法通常称为 微元法 , 在用微元法时 , 应注意 : 求的结果 . (2) 微元法的关键是正确给出 的近似表达式 Δ为 的高阶无穷小量不是一件容易的事 . x(1) 所求量 关于分布区间必须是可加的 . ),0)((],[,)(  xfbaxxfy这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面 (如下图 ). 设平面光滑曲线 C 的方程为 二、旋转曲面的面积 O a b xyx xx()y f x通过 x 轴上点 x 与 分别作垂直于 x 轴的平 Δxx22Δ π [ ( ) ( Δ )] Δ ΔS f x f x x x y   2[ 2 ( ) ] 1 ( ) ,yf x y xx    其中 Δ ( Δ ) ( ) .y f x x f x  由于 2200l i m 0, l i m 1 ( ) 1 ( ) ,xxyy f xx        时 , 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积 , 即 面 , 它们在旋转曲面上截下一条狭带 . 当 很小 Δx因此由 的连续性可以保证 )(xf 22Δπ 2 ( ) Δ 1 Δ 2 π ( ) 1 ( ) ΔΔyf x y x f x f x xx    (Δ ),ox所以得到 2d2。