数学分析之导数和微分(编辑修改稿)

数学分析之导数和微分(编辑修改稿)内容摘要：

)l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD注意 : ,千万不要把导数乘积公式 (2) ()u v u v   记错了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxxDDD例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x a     求 的导数10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )         nn nnf x a x a x a x a解 因此 , 对于多项式 f 而言 , 总是比 f 低一个幂次 . f例 2 s in ln .y x x x求 在 处 的 导 数π解 由公式 (2)，得 120 1 1( 1 ) .     nn nn a x n a x al n .xy   1( sin ) ln sin ( ln ) c o s ln sin ,y x x x x x x xx     00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )(). ( 4 )() ()xxu x v x u x v xuxvx vx   在点 x0 也可导 ， 且 ()() ()uxfx vx则定理 若函数 在点 x0 可导 , ( ), ( )u x v x 0( ) 0 ,vx 证 1( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ,()g x f x u x g x g xvx设 ，则 对 有0 00011( Δ) ()( Δ ) ( )ΔΔv x x vxg x x g xxx0000( Δ ) ( ) 1 .Δ ( Δ ) ( )v x x v xx v x x v x  由于 在点 x0 可导 , 因此 0( ) 0 ,vx ()vx对 应用公式 (2) 和 (5), 得 ( ) ( ) ( )f x u x g x0 0 00 200( ) ( ) ( )( ) l i m ,()xg x x g x v xgxx vxD    ΔΔ0020()1.() ()xxvxvx vx 亦即 (5) 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x u x g x u x g x  00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )().() ()xxu x v x u x v xuxvx vx  即例 3 求下列函数的导数： 22 222c os si n 1 se c .c os c osxx xxx  ( i ) ,。 nxn 是正整数( ii ) t a n , c o t。 xx( iii ) s e c , c s c .xx解 1121( i ) ( ) .nnnnnnxx n xxx       2sin ( sin ) c os sin ( c os )( ii ) ( t an )c os c osx x x x xxx x   同理可得 s e c t a n .xx221 ( c os ) sin( iii ) ( se c )c os c os c osxxxx xx     ( c s c ) c s c c o t .x x x 221( c ot ) c s c .si nxx x    同理可得 001( ) . ( 6 )()fx y  证 00,x x x y y y   设 则ΔΔ00( ) ( ) ,x y y y＋ΔΔ 00( ) ( ) .y f x x f x  ΔΔ 定理 设 为 的反函数， 在 ()y f x ()xy  由 假设 , 在点 1f   0x 的某邻域内连续 ,且严格 二、反函数的导数 f 00()xy 则 在点 可导 , 且 0y 0( ) 0 ,y   点 的某邻域内连续，严格单调 , 且 0 0。 0 0 .x y x y     Δ Δ Δ Δ 00 0011l i m .()limxyyfxxxyyDD   ΔΔΔΔ例 4 求下列函数的导数： ,0)( 0  y 便可证得 注意到 单调 , 从而有 ( i) a r c s in a r c c o s。 xx和( ii ) a r c t a n a r c c o t .xx和解 ( i ) a r c s in , ( 1 , 1 ) s iny x x x y   是在21 1 1( ar c si n ) , ( 1 , 1 ) .( si n ) c os 1xx yy x      21, ( ar c c os ) , ( 1 , 1 ) .1xxx    同理上的反函数，故 ()22π π，yyyx 22 t a n11s e c1)( t a n1)( a r c t a n).,(,1 1 2  xx同理有 21( ar c c ot ) ,1x x ( , ) .x      的反函数，故 ( ii ) a r c t a n t a ny x x y 是在上 ()22π π，定理 0( ) ( )u x x y f u设 在点 可导， 在点00 ()u x f 可 导 ， 则 复 合 函 数在点 x0 可 这个定理一般用有限增量公式来证明 ， 但为了与  0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 7 )f x f u x f x x       导， 且 三、复合函数的导数 证法 , 为此需要先证明一个引理 . 今后学习向量函数相联系 ， 这里采用另一种新的 引理 f 在点 x0 可导的充要条件是 : 在 x0 的 某邻 00( ) ( ) ,U x x H x域 上存在一个在 连续的函数 使证 设 f (x) 在点 x0 可导 , 且令 00000( ) ( ) ,()()( ) , .f x f xx U xxxHxxxfx    00( ) ( ) .f x H x 且 ),)(()()( 00 xxxHxfxf 000000( ) ( )li m ( ) li m ( ) ( ) ,x x x xf x f xH x f x H xxx   因0()H x x故 在 连续，且00, ( ) ( ( ) ) ,H x x U x x反之 设存在 在点 连续 且0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .f x f x H x x x x U x       ),()(l i ml i m00000xHxHxx xfxfxxxx得 f (x) 在点 x0 可导 , ).()( 00 xHxf 且下面证明定理 ( 公式 (7) ) . ).(),)(()()( 000 xUxxxxHxfxf 根据极限 ),(0 uFu 连续的函数个在点 且使 )()( 00 uFuf 同理， ,)( 0 可导在点 xxu  则存在一个在点 x0 ).(),)(()()( 000 uUxuuuFufuf 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .u u x x x x x x U x       于是当 有 ),( 0xUx由引理的必要性 ,)( 0 可导在点及 uuf 知存在一 ( ),x 00( ) ( ) ,xx 使 且 连续的函数 00( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) .f x f x F x x x x     公式 (7)改写为 0 0 0 0 0( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) .H x F x x f u x    0, x由于 在点 连续 )( 00 xuF 在点 连续， 0( ) ( ( ) ) ( ) .H x F x x x所以 在点 连续根据引 理的充分性 , 0 ,fx 在点 可导 且)()( 0xf ( ) , ( ) ,y f u u x其中 这样就容易理解 “链” 的 复合函数求导公式 (7) 又称为 “链式法则” . 若将 ,dxdududydxdy ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) .f x f x x    与 的不同含义例 5 .s i n 2 yxy  的导数求函数在链式法则中一定要区分 ()( ( ) ) ( ) | uxf x f u   22d d d ( sin ) ( ) c o s 2 2 c o s .d d dy y u u x u x x xx u x     意义了 . 解 分解成 这两个 2s inyx将 2s iny u u x与于是由链式法则 , 有 基本初等函数的复合， 例 6 ( , 0 ) .y x x 求幂函数 是实数 的导数解 lne e lnxuy x y u x    由与复合而成 , l n 1( ) ( e ) e .xuxxx       故例 7 求下列函数的导数 : 2( i ) 1。 x 21( ii )。 1 x2( ii i) ln ( 1 ) .xx解 运用复合求导法则 , 分别计算如下 : 12222 1( i ) ( ) ( 1 ) ( 1 )12 xxx   2 .1xx2 3 2 2211( i i ) ( 1 ) ( 1 )21xxx    23.( 1 )xx2( i i i ) l n ( 1 )xx 221 ( 1 )11xx x x  221 ( 1 )1xxx x   21 .1 x例 8 求下列函数的导数 : 21( i ) ( ) a r c t a n ( t a n )。 3 3 2xfx 1, 0 ,1e( ii ) ( )0 , 0 .xxxgxx    解 222 1 1 1( i ) ( ) se c13 3 2 21 t a n92xfxx    2211 .5 4 c o s9 c o s sin22xx x ( ii ) 0x 当 时,111211 e e( ) .( 1 e )xxxxgx  0x 当 时, 因为101( 0 ) li m 0 0 ,1e xxxgx     ΔΔΔΔ所以 在 处不可导 . g 0x101( 0 ) li m 0 1 ,1e xxxgx     ΔΔΔΔ化某些连乘、连除式的求导 . ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )( ( ) ) ( e ) e ( ( ) ln ( ) )v x v x u x v x u。