复变函数与积分变换泰勒级数(编辑修改稿)

复变函数与积分变换泰勒级数(编辑修改稿)内容摘要：

znzzzfn但 )(1 zfz 时：近于沿实轴从单位圆内部趋当是一个奇点。 即 1z复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换展开式：解析，且有在设函数 T a y l o r)( 0zzf00( ) ( ) ,nnnf z C z z最近的一个奇点，的距是 0)( zzf 为其收敛半径。 则 0zR  推论 3： 例如： ,61)(02nnn zCzzzf。 2R则其收敛半径,)(61)(02 nnn izCzzzf 则 其 收 敛 半 径复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换而如果把函数中的 x换成 z, 在复平面内 ,函数 2 4 621 1 + +1 z z zz   它有两个奇点 i, 且都在此函数展开式的收敛圆周上 , 所以这个级数的收敛半径只能等于 1。 因此 ,即使我们 只关心 z的实数值 , 但复平面上的奇点形成了限制。 在实变函数中有些不易理解的问题 , 一到复变函数中 就成为显然的事情 , 例如在实数范围内 , 展开式 2 4 221 1 ( 1 )1nnx x xx       的成立必须受 的限制 ,这一点往往使人难以理解 ,因为上式左端的函数对任何实数都可导 ,且有 确定的函数值。 | | 1x 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换洛朗级数 一个以 z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成 zz0的幂级数 . 如果 f (z)在 z0处不解析 , 则在 z0 的邻域内就不能用 zz0的幂级数来表示 . 但是这种情况在实际问题中却经常遇到 . 因此 , 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法 . 讨论下列形式的级数 : 10 0 1 00 1 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ,               nnnnnnnc z z c z z c z zc c z z c z z可将其分为两部分考虑 : 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换0 0 1 0 0010 1 0 01( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )                 正 幂 项 部 分负 幂 项 部 分nnnnnnnnnnc z z c c z z c z zc z z c z z c z z只有正幂项和负幂项都收敛时 ,原级数 才 收敛于它们的和 . 正幂项是幂级数 , 设其收敛半径为 R2： 20 1 211( ) ,nnnnnnc z z c t c t c t        这是 t 的幂级数 , 设收敛半径为 R： 02 .z z R对负幂项 , 如果令 t =(zz0)1, 可得： 011t R z z RR    则当 |zz0|R1, 即 |t|R 时 , 011()nnnnnnc t c z z  收 敛。 因此 , 只有在 R1|zz0|R2的圆环域 , 原级数才收敛 . 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换z0 R1 R2 例如级数 10110(), 1 ,| | | | ,| | | | . | | | || | | | | | | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzba a az z zzzabz b a ba z b a b  与 为 复 常 数中 的 负 幂 项 级 数 当即 时 收 敛 而 正 幂 项 级 数 则 当时 收 敛 所 以 当 时 , 原 级 数 在圆 环 域 收 敛。 当 时 , 原 级数 处 处 发 散复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换在收敛圆环域内具有 幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如 , 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的 , 而且可以逐项积分和逐项求导。 10 0 1 00 1 0 0( ) ( ) (。