高级微观经济学偏好与效用(编辑修改稿)

高级微观经济学偏好与效用(编辑修改稿)内容摘要：

现，原因在于无差异曲线较厚。 严格凸偏好克服了无差异曲线较厚的问题，使得无差异类成为了真正的 “ 曲线 ”。 严格凸偏好具有如下两个特点： 我们将会看到，要使消费者需求能够唯一确定，离不开偏好的严格凸性 (至少要求内部严格凸， 即在消费集合内部的严格凸的 )。 因此，一般情况下，总是会假定偏好关系具有 严格凸性。  对两种有差异的方案进行加权平均时，严格凸偏好与凸偏好的效果一致：加权平均方案比原方案中最差的那个要好。  对两种无差异的方案进行加权平均时，严格凸偏好比凸偏好的效果要好：严格凸偏好下的加权平均使效用明显提高。  严格凸偏好不但是凸的 ， 而且是弱凸的 ， 并且严格凸偏好下的无差异曲线不会包含直线段 ， 更不会 “ 厚 ” ， 而是既薄又弯。 强单调性最强，弱单调性最弱。 对 X 上连续的偏好关系来说，严格单调性隐含着单调性。 如果 ，则对于严格凸偏好来说，强单调性等价于单调性，严格单调性等价于弱单调性。 如果 ，则对于连续的严格凸偏好来说，这四种单调性相互等价。 (四 ) 偏好的单调性 欲望无止境现象也可用偏好的单调性来表达，即商品数量越多越好。 单调性也有不同的强弱程度，对此，我们给出如下定义。  定义 消费集合 X 上的偏好关系  叫做是 ： (1) 弱单调的，是指 (x, yX )(( x y)( x  y))； (2) 单调的，是指 (x, yX )(( x  y)( x  y))； (3) 严格单调的，是指 (x, yX )(( x y)( x  y))； (4) 强单调的，是指 (x, yX )(( x y)( x  y))。 ))())(()(( XyxyRyXx  ))())(()(( XyxyRyXx  四、理性消费者  定义 理性消费者 ( X,  ) 是满足如下条件的效用最大化追求者： (1) 具有非空、下有界、闭、凸的消费集合 X。 (2) 具有无满足、连续、凸的偏好关系 。 消费集合 X 和偏好关系  完全刻画了消费者的个人特征，因此可用 ( X,  ) 表示消费者。 新古典主义经济学强调理性消费者具有良好的偏好。 根据以上对消费集合和偏好关系的研究，我们可以对这种 “ 良好性 ” 作出解释。 为此，我们给出如下定义。 注意，这个定义表述的是消费行为的基本理性。 如果期望更强的理性行为出现，就需要在此基础上提出更强的要求。 比如，假设HP就要求消费者偏好是严格凸的。 符合假设 HC和 HP的消费者不但是理性消费者，而且其消费行为要比一般理性消费者更为理性些。  假设 HC 消费集合 X 是商品空间 的非空下有界凸闭子集。  假设 HP 消费者的偏好 关系  是无 满足、连续、严格凸的。 R证明： 令 P(z) = {xM : x  z}，则 {P(z)}zM是 M 的具有 有限交性质 的闭子集族。 由于 M 是紧集，集族 {P(z)}zM具有非空的交，从而可取 yzM P(z)。 对于这个 y，显然有 (zM )( y  z)成立。 这说明方案 y 是消费者在 M 中的满足消费，从而消费者在 M 中有满足。 (一 ) 特点之一 ： 在非空有界闭集中有满足 (1)集族 {Ft}tT 具有有限交性质，是指对 T 的任意有限子集 A，都有tA Ft  。 (2)商品空 间 的子集 M 是紧集 当且仅当 M 是有界闭集。 (3) M 是紧集 M 中任何具有有限交性质的闭集族都有非空的交集。  理性消费者在消费集合 X 的任何非空有界闭子集 M 中都有满足。 y证明中用到的有关概念与定理 R M (二 ) 特点之二 ： 局部无满足 理性消费者 ( X,  ) 局部无满足 ， 从而他的任何无差异曲线都不会包含开球在其中 (即无差异曲线的内部是空的 )。 证明 ： 任意给定 xX 及 x 的邻域 U。 偏好  的无满足性保证了存在 yX 使得 y  x。  的凸性保证了连接 x 与 y 的 开线段 I = {(1t)x + t y : 0 t 1} 内的每个点都比 x 优。 注意， I U  。 取出一点 zI U，则 zU 且 z  x，这就证明了偏好  的局部无满足性。 z y I X xU局部无满足性意味着无差异曲线 “ 很薄 ” ，偏好连续性意味着生活水平较高。 这样，以理性为前提的经济学是富裕经济学，研究如何 “ 好上加好 ” ，而不适合于指导解决基本温饱问题。 167。 3 效用函数 如果说表达效用的偏好关系太抽象的话，那么用效用函数就会来得比较直观和直接。 偏好关系与效用函数理论是经济理论的重要组成部分，人们对它们的研究从未停止过。 可以想象，如果消费者心目中有一种效用计量单位的话， 基数效用 便得以存在，从而在消费量与效用量之间存在着对应关系 ——基数效用函数。 然而， 人们对基数效用论提出了诸多批评，认为作为主观感受的效用是 序数效用， 无法计量多少，只可比较大小。 序数效用论者进一步认为，按照效用大小对消费方案排出的优劣次序类似于实数的大小顺序，可以按照实数顺序给消费方案标号，从而也出现了消费方案与实数之间的对应关系 ——序数效用函数。 总之，基数效用论与序数效用论的共同特点是用实值函数来表达效用。 可见，效用函数理论在经济学中起着基础性的重要作用。 一、效用函数的存在性 效用函数的存在性是经济学的一个重大基础问题，它包含两层含义：一是基数效用函数是否存在。 二是序数效用函数是否存在。 序数效用论者否定基数效用论，就等于否定了基数效用函数的存在性。 然而即使承认序数效用论的观点正确，序数效用函数的存在性问题也不是那么容易解决的。 直到 1954年，才由 德布罗对序数效用函数的存在性问题给出了肯定的答案，也 直到 1964年才真正对这一答案做出了正确证明。 后来到 1972年，德布罗又肯定地回答了可微效用函数的存在性问题。 德布罗在效用函数方面的这些研究工作，为效用理论奠定了坚实的基础，让我们可以在偏好关系和效用函数之间自由选择使用。 下面来介绍德布罗的这两个效用函数存在性定理。 由于基数效用论的合理性与正确性已被否决，因此今后凡提到效用函数，如无特殊说明，均指序数效用函数。  设  是消费集合 X 上的偏好关系。 函数 u : XR 叫做是  的 效用函数 ， 是指 u 满足如下条件 ：  当 u 是  的效用函数时 ， 也称 u 是  的 效用表示 ， 或称  是 u 的诱导偏好 (induced preference， 即 u 诱导的偏好关系 ， 记作 )。 (一 ) 效用函数的定义 效用函数的意义在于依照消费方案的效用大小，来用实数对各种消费方案进行标号。 可以看出： 如果 u : XR 是偏好关系  的效用函数 ， 那么 u 在任何严格递增变换  : RR 下的结果 v =  (u) 也是  的效用函数。 因此，只要  的效用函数存在，  的效用函数就无限多。 这些表示相同偏好的效用函数，叫做 等价效用函数 ，可以等同看待。 显然，对于任何两个效用函数 u 与 v ，我们有： u 与 v 等价的 充分必要条件 是 (x, yX )((u(x)  u( y))(v(x)  v( y)))。    ))()(()(, yuxuyxXyx  u(二 ) 连续效用函数存在定理  定理 商品空间 的任何道路连通子集上的连续偏好关系都有连续的效用函数。 因此 ， 理性消费者必然有连续的效用函数。 w x x 1 2 r r 例 5. 严格单调的连续偏好的效用函数构造 设  是消费集合 上严格单调的连续偏好关系。 用 D表示平面第一象限的对角线，即 D = {(r, r)X : r = r}。 易见， D是道路连通的闭集， 0D， 且 (xX)( yD)(0  x  y)。 现在，任意给定 xX 并令 A ={ yD : y  x}及 B ={ yD : y  x}。 可以证明，这个函数 u : XR 就是偏好  的连续效用函数。 A R2 RX 可以看出， A  且 B 。 另外，  的连续性保证了 A 和 B 都是闭集； D 的道路连通性保证了 A B  ；  的严格单调 性保证了 A B 是单点集。 取出 w=(r, r) A B，并令 u(x) = r。 这就定义了一个函数 u : XR。 x B D 0 如果  是 中的一张 k 阶光滑超曲面，则称  是 k 阶 光滑偏好关系。 所谓 k阶 光滑超曲面 ，是指该超曲面是通过一个 k阶连续可微的 11映射，从一张超平面变换而来的。 (三 ) 可微效用函数存在定理  定理 设 且 X 是道路连通的 ，  是 X 上单调、连续的偏好关系。  具有无奇点的 k 阶连续可微效用函数 当且仅当  是 k 阶光滑偏好关系。  假设 HU(可微性假设 ) 消费者的效用函数在消费集合内部二阶连续可微 ， 并且在各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。 (1) 函数的奇点 ：是指该点处函数的各个一阶偏导数都为零。 (2) 光滑偏好 ： 偏好关系  可看成 的子集： RX 定理中的有关概念解释 ：  2RRR 可微效用函数存在定理，让我们可以使用下述可微性假设。 }:),{( yxRRyx   2R类似地，可给出一系列概念： u 弱拟凹 是指  弱凸； u 严格拟凹 是指  严格凸； u 内部严格拟凹 是指  内部严格凸； u 弱单调 是指  弱单调； u 单调 是指  单调； u 严格单调 是指  严格单调； u 强单调 是指  强单调。 二、效用函数的性质 效用函数的性质是与偏好关系的性质是相对应的。 设 u: X  R 是 偏好关系  的 效用函数。 称 u 是 拟凹 的 (quasiconcave)，是指  是凸偏好： (x, yX )(t(0, 1))((u(x) u( y))((u(t x+(1 t)y) u( y)))。  定理 设 u: X  R 是效用函数，  是 u 诱导的偏好关系。 (1)  连续 当且仅当 u 等价于连续效用函数； (2)  无满足 当且仅当 u 在 X 上无最大值； (3)  局部无满足 当且仅当 u 在 X 中处处无极大值 ； (4) x 是 M ( X )中的满足消费 当且仅当 x 是 u 在 M 上的最大值点。  xX  处的 效用梯度 是指向量 u(x) = (u1(x), u2(x),  , u(x))。 (一 ) 效用增加最快的方向： 效用梯度 假定效用函数 u: X  R 服从假设 HU。 u(x) [x] x  效用梯度 u(x) 是通过点 x 的无差异曲线在点 x 处的法向量 ， 其大小与效用函数 u 有关。  效用梯度 u(x) 是在点 x 处让效用函数 u 的值增加最快的方向。 令 d x = (d x1,d x2, ,d x)，则 d u = u1(x)d x1+ u2(x)d x2+ + u(x)d x = u(x)d x。 可见 , 效用梯度指向效用增加最快的方向： 在不改变消费增 向量 d x的长度 的情况下 ， 沿着效用梯度方向去增加消费 ， 效用才会增加得最多。 (二 ) 效用梯度的方向不变性 定理 设 u 和 v 是等价的效用函数，它们都在消费集合 X 内部一阶连续可微，并且在 X 内部各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。 则对任何 xint X ， 都有 u(x)int u[X ]，且 存在映射  : u[X ] R 满足如下三个条件： (1) 对任何 xX ， 都有 v(x) =  (u(x))； (2)  在 u[X ]内部可微 ， 并且 对任何 rint u[X ]， 都有  (r) 0； (3) 对任何 xint X ， 都有 v(x) =  (u(x))。