高级微观经济学预期效用理论(编辑修改稿)

高级微观经济学预期效用理论(编辑修改稿)内容摘要：

数的概念加以扩大，凡是具有这个性质的实值函数，都可叫做预期效用函数。 同时，把凸线性性叫做预期效用性质，作为对预期效用函数基本性质的刻画。 这样，我们就有下述定义。 ))(d)()((  X xfxUfEU))()1()())1((])(1,0[)(,( gEUpfp E UgpfpEUpgf  D定义 凡是具有如下性质的函数 u: DR 都叫做 预期效用函数 ： (f, gD)(p[0,1])( u( pf +(1 p) g) = pu( f )+(1 p) u(g) ) 这条性质也就叫做 预期效用性质。 3. 预期效用公理 那么，风险偏好究竟能不能用预期效用函数加以表示。 即风险偏好的预期效用函数是否存在。 如果这个问题能够得到肯定的回答，那么就可以说，在风险选择活动中，人们是依照预期效用大小进行选择的。 为了得到了肯定的答案，人们对风险偏好提出了一些公理，通称为 预期效用公理 ，主要包括： 定义 当预期效用函数 u: DR 成为风险偏好 p 的效用函数时，即 (f, gD)( ( f p g)  (u( f )  u(g) ) 就称 u 是 p 的 预期效用函数 或 预期效用表示。  阿基米德公理  独立性公理  连续性公理 (1 q) f + qg (1 p) f + pg (1) 阿基米德公理  阿基米德公理 风险偏好 p 满足如下条件：对任何 f, g, hD， 如果 f p h p g，则存在 p, q(0,1) 使得 (1 p) f + pg p h p (1 q) f + qg。 f h g 阿基米德公理 本公理的合理性解释 ：设 f, g, hD且 f p h p g。 既然 f p g，以概率 p(0, 1) 进行的复合行为 (1p) f + pg 的优劣性就应介于 f 与 g 之间： f p (1 p) f + pg p g。 p 越大，采取较差行为 f 的概率越小，采取较好行为 g 的概率越大，从而复合行为 (1p) f + pg 越好。 这样，复合行为 (1p) f + pg 的优劣性与 p 成正比。 现在， f p h p g，那么就应该有某个较小的概率 p 和某个较大的概率 q，使得 (1 p) f + pg p h p (1 q) f + qg。 (1 p)g +ph (1 p) f + ph (2) 独立性公理  独立性公理 风险偏好 p 满足如下条件：对任何 f, g, hD 及任何实数 p[0,1]， 如果 f p g，则 (1 p) f + ph p (1 p) f + p h。 f g h 独立性公理 本公理的合理性解释 ： 设 f, g, hD且 f p g。 在复合行为 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph中， 以相同的概率 p采取相同的行动 h，又分别以相同的概率 (1p)采取不同的行动 f 和 g。 这样一来，这两种复合行为 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph 究竟哪一个更优，便完全取决于 f 与 g 哪一个更优 , 而与第三种行为 h的优劣性无关 (即独立于第三种行为 )。 (3) 连续性公理  连续性公理 风险偏好 p 满足如下条件：对任何 f , g, hD， 集合{ p[0,1] : (1 p) f + p g p h }和 { p[0,1] : (1 p) f + p g  h }都是闭区间 [0, 1]的闭子集。 f g h 连续性公理 本公理的合理性解释 ： 设 f, g, hD且 f p g。 则对复合行为 (1 p) f + p g的评价应该与概率 p 成正比： 选择更好行为 g 的可能性越大 ， 复合行为越好。 这样一来，由不比 h 优的复合行为中的概率 p 构成的集合应该是 [0, 1]的闭子集；由不比 h差的复合行为中的概率 p构成的集合也应该是 [0, 1]的闭子集。 连续性公理比阿基米德公理的要求更高 ， 它可以替代阿基米德公理。 })1(:]1,0[{],[ hpgfppgf h })1(:]1,0[{],[ hpgfppgf h phgf ],[hgf ],[3. 预期效用函数存在定理  定理 设 p 是风险选择集合 D上的偏好关系。 p 可用预期效用函数来表示 当且仅当 p 服从阿基米德公理和独立性公理。 当 p 具有预期效用表示时， p 的预期效用函数在仿射变换下是唯一的：若 u 和 v 都是 p 的预期效用表示，则存在实数 a 和 b 使得对一切 f D 都有 v( f ) = a + b u( f ) 成立。  注释 1 预期效用公理是关于风险选择行为理性的公理。 即使 f 与 g是确定性的行为 (退化的风险行动 )，复合行为 (1p) f + pg 也是风险行动。  注释 2 当风险偏好 p 具有预期效用表示时，风险空间 D 中的无差异曲线必是凸集，从而是 “ 直线 ”： 对任何 f, g  D，如果 f ~ g，则 (p[0,1])( pf +(1p)g ~ f )。 fggppf )1( D 无差异曲线 gf ~(三 ) VNM效用函数 预期效用函数存在定理虽然保证了风险偏好存在一般意义上的预期效用函数，但还不能保证通常意义上的预期效用函数也存在。 通常的预期效用函数是通过确定性选择集合 X 上的确定性效用函数的积分来表达的，因此还需要研究积分形式的预期效用函数的存在性：如果 p 是 D 上的偏好关系，那么是否存在函数 U : X  R 使得 EU : D  R 成为 p 的效用函数。 最早涉及这个问题研究的是数学家 冯 •诺伊曼 和 摩根斯顿。 后人便把能使 EU 表达风险偏好的这个函数 U : XR 叫做 von NeumannMenstern效用函数 ，简称 VNM效用函数。 准确地说，我们给出如下定义。  定义 (VNM效用函数 ) 函数 U : XR 叫做风险偏好 p 的 VNM效用函数，是指从 U 出发给出的函数 EU : D  R 是 p 的效用函数，其中 EU 的定义为 ： 对任何 f D，。  X xfxUfEU )(d)()(1. 可测偏好与单调性公理 为了 VNM 效用函数的存在性，需要假定 风险环境中的状态空间 是确定性选择集合 X：  = X。 这个假设是说，消费者能够对每次风险行动中 “ 选择到 X 的某子集 B 中的向量 ” 的概率大小做出估计，也即可把风险环境中的随机事件直接看成是 “ 选择结果落在 X 的某个子集中 ”。 于是，风险环境 (,F,P)为概率空间 (X,F,P)： (,F,P) = (X,F,P)  定义 (可测偏好 ) 风险偏好关系 p 叫做是可测的 ， 是指对任何 x X， 集合 {yX : y p x}和 {yX : y  x}都是 F 的元素 ， 即都是概率空间 (X,F,P) 中的可测集合。  单调性公理 对任何 X 及 xX， 如果 P{() p x}=1， 即 () p x 对几乎所有的 都成立 ， 则  p x； 如果 P{()  x}=1， 即 ()  x 对几乎所有的 都成立 ， 则   x。 2. VNM效用函数存在定理  定理 (积分形式 ) 设 (, F, P) = (X, F, P) 且 (xX )({x}F )。 如果 p 是 D 上的可测偏好关系并且服从阿基米德公理 、 独立性公理和单调性公理，则存在一个有界可测函数 U : X  R 满足如下条件： ( f, gD) (( f p g)  ( X U(x) df (x)  X U(x) dg(x) )) 即存在 p 的 VNM效用函数。 风险行为准则 ：预期效用函数存在定理及 VNM效用存在定理告诉我们，在风险环境中，人们实际上是根据预期效用来对各种可能的风险活动进行评价，然后作出选择的。 这样，人们的 风险行为准则 必然是 预期效用最大化。 值得注意： VNM效用函数存在定理 并没有说 只要一个定义在 X上的实值函数 U(x)是风险偏好 p 在 X 上的限制 的效用函数，即只要 U(x) 是消费者的确定性效用函数，那么从 U(x) 得出的预期效用函数 EU( f ) = X U(x) df (x) 就是 p 的 (预期 )效用函数。 Xp三、无常选择与主观概率 现在讨论第二种不确定性：无常性 (uncertainty)，即不但经济人的选择结果不确定，而且连选择到某种结果的概率都不存在，因而是完全地不确定。 在这种完全不确定的环境中，由于不存在事件发生的概率，经济人在决策时就要靠经验、靠感觉、靠信息来对事件发生的可能性作出主观判断，这就形成了所谓的 主观概率 ，它因人而异。 事实上，现实经济活动中，决策者涉及的概率一般都是主观概率与客观概率的混合体，决策者对事物的判断既有主观的成分，也有客观的因素。 我们关心的问题是： 无常环境中，人们的行为准则是什么。 是否依然是预期效用最大化。 关于选择行为的何种公理体系，能够用于推断主观概率的存在。 1954年，萨维奇研究了这些问题，构建出了无常选择公理体系，并在 1972年又进行了修正和完善。 (一 ) 无常环境 无常环境是指完全不确定的选择环境，其中既不能确定经济人会选择到那种具体结果，又不能确定选择到某种结果的概率。 无常环境有着类似于风险环境的地方：经济人的选择结果依赖于一些不确定的因素 —— 无常因素，叫做自然状态。 仍用  表示这些自然状态的全体，称为 状态空间。 无常环境区别于风险环境的地方，在于无常环境中没有客观存在的不确定事件发生概率，而风险环境中有。 这样一来，在无常环境中，状态空间  的任何子集都可以叫做 事件 ，因而事件域 F 是  的 幂集 ： F = P = P()，即 的子集的全体。 而风险环境中，事件域 F由 的一部分子集组成，特别是当 为无限集合时， F P()。 既然在无常环境中，经济行为受制于状态空间，特别是受制于不确定事件，因此，空间 (, P)便代表着经济人所处的无常环境。  无常环境 ： (, P)， 其中 P = P()={A : A  }。 我们依然用 X 表示确定性选择集合，即一切可能的选择结果的集合，并依然假定  = X。 在无常环境中，由于没有客观概率的存在，这个假定显得更加合理： 直接把各种可能的结果视为各种可能的不确定因素。 这样，无常环境为 (, P ) = (X, P)。 进一步，我们假定： X 是 实数集合 R 的子集 ， 即 X  R(这是萨维奇定理的需要 )。 在无常环境 (, P ) 中，经济人的选择行为 (即 无常行为 )可用映射  : X 来表示 ，含义是说， 当状态 出现时 , 选择 ()X ；但不知道究竟会选择到哪一个结果，也不知道选择到 X 中某个结果的概率有多大。 用 X 表示一切可能的无常行为的全体，即 X = {x: x 是 从  到 X 的映射 } 称为经济人的 无常 选择集合。 对于 X ，集合 []={(): }称为无常行为  的 结果集合。 注意， X 中的每种结果 x 都可看成 退化的无常行为  x： ()( x() = x)， 从而 X  X。 (二 ) 无常选择集合  两种无常行为的复合 设 ,X 且 AP。 行为  与  通过事件 A 的复合行为 ， 记作 ， 是指这样的一种 行为 X： 如果事件 A 发生 ， 则采取行动  ； 如果事件 A 没有发生 ， 则采取行动 。 即 对任何 ，。 像风险行为的复合一样，也可以把两种或多种无常行为通过一个或多个事件复合起来，形成另一种无常行为。 (三 ) 无常行为的复合  分划 的 分划 是指 P中的一组互不相交的事件 {A1, A2, , An}使得 ， 即总都有且只有 {A1, A2, , An}中一个事件发生。 ),( cAA 。