随机过程基础知识(编辑修改稿)

随机过程基础知识(编辑修改稿)内容摘要：

yYxXPyYxXP)|( yYXE  dxyxfx )|( )|( yxf条件概率密度 首页 二、全数学期望公式 定理 1 对一切随机变量 X和 Y， 有 连续型 是随机变量 Y的函数，当 时取值 因而它也是随机变量。 )|( YXEyY  )|( yYXE 离散型 )]|([ YXEE)( XE)()|()(1jjjyYPyYXEXE  dyyfyYXEXE Y )()|()(   首页 证 只证（ X， Y）是离散型随机向量时的情况 )()|(1jjjyYPyYXE )()|(1 1jjij ii yYPyYxXPx   ),(1 1jij ii yYxXPx    ),(11jijii yYxXPx)()(1XExXPx iii  首页 一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走 3个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走 5个小时又返回原处，从第三个通道出去要走 7个小时也返回原处。 设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。 例 1 解 设 X表示矿工到达安全地点所需时间， Y表示他选定的通道，则由定理 1可知 )( XE )]|([ YXEE)1()1|(  YPYXE )2()2|(  YPYXE)3()3|(  YPYXE )]7()5(3[31 EXEX 15)( XE所以 首页 设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于 100的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学期望是 10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客化钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的一天内，顾客们在该店所化钱的期望值为多少。 例 2 解 设 N 表示进入该店的顾客人数， 表示第 i个顾 客所花的钱数， iX则 N 个顾客所花钱的总数为 NiiX1则一天内顾客们在该店所化钱的期望值是 NiiXE1 Nii NXEE1| ）（首页 而 从而 由假设 所以 Nii nNXE1| ）（ nii nNXE1| ）（niiXE1）（ )( XnENii NXE1| ）（ )( XNENiiXE1)()()]([ XENEXNEE 100)( NE 10)()(  iXEXE于是 NiiXE1100010100 它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000元。 首页 三、条件期望的应用 定理 2 设 X、 Y是随机变量， 是 Borel函数， 证 下面的命题说明在均方意义下 ， 在已知随机变量 X的条件下 ， 是 Y的最佳预测。 则 )|( XYE)(xg]))([( 2XgYE  ]))|([( 2XYEYE ]|))([( 2 XXgYE ]|))()|()|([( 2 XXgXYEXYEYE 首页 ]|))|([( 2 XXYEYE ]|))()|([( 2 XXgXYEE ))|([(2 XYEYE  ]|))()|(( XXgXYE 由于 当 X取定值时是常数， )()|( XgXYE 所以 ))()|(( XgXYE  0]|))|([(  XXYEYE故得 ]|))([( 2 XXgYE  ]|))|([( 2 XXYEYE 由定理 1，两边取数学期望，即得证。 首页 通常当我们观察到 时， 是一切对 Y的估值中均方误差最小的一个，我们称之为 Y关于 X的回归。 例 3 设身高为 x（ cm） 的男子 ， 其成年儿子的身高服从均值为 ， 方差为 10的正态分布 ， 问身高为 175cm的男子 ， 其成年儿子的身高的最佳预测值是多少。 令 X表示父亲身高， Y表示儿子身高，则 xX  )|( xXYE 3x解  3XY N（ 0， 10） 与 X独立 Y的最佳预测是 )1 7 5|( XYE )175|3(  XXE )175|(3175  XE  178)(178  E即其成年儿子的身高的最佳预测值是 178cm。 返回 首页 一、指数分布的定义 第六节 指数分布 若连续型随机变量 X的概率密度为 分布函数为 则称 X具有参数为 的指数分布。 0,00,)(xxexfx0,00,1)()(xxedyyfxFxx)0（ 首页 二、无记忆性 若随机变量 X满足 则称随机变量 X是 无记忆的。 如果我们把 X看作某仪器的寿命，则 X的无记忆性表示 : }{}|{ sXPtXtsXP 0ts， 在仪器已工作了 t 小时的条件下，它至少工作 小时的概率与它原来至少工作 s 小时的概率是相同的。 换句话说 如果仪器在时刻 t是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布。 ts首页 考虑一个有两名营业员的邮局。 假设当 A进去时，他发现一名营业员正在给 B办事而另一名营业员正在为 C服务。 还假设已告诉 A ，一旦 B或 C离开就为他服务。 如果一个营业员为一个顾客所花的时间服从均值是 的指数分布。 三个顾客中 A最后离开邮局的概率是多少。 例 1 解 考虑 A发现一个营业员有空的时刻，此时 B与 C中有一个刚好离开而另一个仍在接受服务。 由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花费的时间也服从指数分布，其均值仍为 ，即仿佛他才开始服务 . /1/1因此由对称性，他在 A之前结束服务的概率为， 故 A最后离开邮局的概率也是。 2/12/1首页 三、失效率函数 指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。 1．定义 设 是一个非负连续随机变量 X的分布 函数，其密度函数 ， )(tF)(tf则 )()()(tFtft 称为 X 的 失效（或风险）率函数。 )(1)( tFtF  )( tXP 存活函数 首页 2． 的直观解释 为了阐明的意义，把 X设想为某种元件的寿命，且 X假定已经存活 t 小时，我们要求再过时间 dt它失效的概率，即考虑 由于 可见 表示一个 t 岁的元件将失效的可能性大小， 即元件将失效的概率强度。 }|{ tXdttXtP }|{ tXdttXtP }{},{tXPtXdttXtP}{}{tXPdttXtP)()(tFdttf dtt )()(t)(t首页 3．生起率 假设寿命分布是指数分布，那么由无记忆性，一个 t 岁的元件的剩余寿命的分布与一个新元件的寿命分布相同，因此应当是常数。 事实上 指数分布的失效率函数是常数。 参数 常称为分布的 生起率 （或速率）。 )()()(tFtft   ttee于是 4．失效率函数 与分布函数关系 )(t )(tF（ 1）失效率函数 唯一决定分布 原因是 )()()(tFtFdtdt首页 积分得 即 令 得 因而 即 kdtttF t   )()(l og 0 })(e xp {)( 0 dttctF t 0t 1c})(e xp{)( 0 dtttF t })(e xp {1)( 0 dtttF t （ 2） 决定 )(t)(tF （有的定义可知） 一个概率分布可用它的失效率（如果存在的话）来描述。 因此 返回 首页 一、收敛性 第七节 收敛性和极限定理 1．概率 1收敛（或几乎处处收敛） 如果 随机变量序列 以概率 1收敛于 X，或称 几乎处处收敛于 X，记作 1}l i m{  XXP nn则称 nXnXXX san   .首页 如果 2．均方收敛 对于所有的 有 随机变量序列 以均方收敛于 X，记作 且 nXnX ]|[| 2nXE]|[| 2XE则称 0]|[|l i m 2  XXE nnXX nnl. i. m首页 如果 3．依概率收敛 对于任意给定的正数 ，有 随机变量序列 依概率收敛于 X，记作 nX则称 00}|{|l i m XXP nnXX Pn  首页 如果 4．依分布收敛 设 ， 分别为随机变量 及 X 的 分布函数 随机变量序列 以分布收敛于 X，记作 nX则称 )(xFn )(xF nX 对于的每一个连续点 x，有 )(xF)()(l i m xFxF nn XX dn  首页 （ 1）若 均方收敛，则 必为依概率收敛； 收敛性之间的关系 nXnX（ 2）若 以概率 1收敛，则 必为依概率收敛； nX nX（ 3）若 依概率收敛，则 必为依分布收敛。 nX nX均方收敛与以概率 1收敛不存在确定的关系。 注 二、极限定理 1．强大数定理 如果 独立同分布， 具有均值 ，则 ， 21 XX1}/)(l i m{ 21 nXXXP nn首页 2．中心极限定理 如果 独立同分布， 具有均值 与方差 ，则 ， 21 XX 2 annXXP nn 1l i m dxexa2221 注 若令 ，其中 独立同分布 inin XS 1， 21 XX则 强大数定理 表明 以概率 1收敛于 ； nSn /][。