计数原理复习资料(编辑修改稿)

计数原理复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

向一 分 类加法计数原理 【例 1】 ►(2020全国 )某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4本赠送给 4 位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有 ( )． A． 4 种 B． 10 种 C． 18 种 D． 20 种 [审题视点 ] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理． 解析 赠送一本画册， 3 本集邮册，共 4 种方法；赠送 2 本画册， 2 本集邮册共C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共 4＋ C24＝ 10(种 )． 答案 B 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． 【训练 1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有 ________个． 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有 8 4＝ 32(个 )； 第二类，有两条公共边的三角形共有 8(个 )． 由分类加法计数原理知，共有 32＋ 8＝ 40(个 )． 答案 40 考向二 分步乘法计数原理 【例 2】 ►(2020北京 )用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 ________个 (用数字作答 )． [审题视点 ] 组成这个四位数须分 4步完成，故用分步乘法计数原理． 解析 法一 用 2,3 组成四位数共有 2 2 2 2＝ 16(个 )，其中不出现 2 或不出现 3 的共 2 个，因此满足条件的四位数共有 16－ 2＝ 14(个 )． 法二 满足条件的四位数可 分为三类：第一类含有一个 2，三个 3，共有 4 个；第二类含有三个 2，一个 3 共有 4 个；第三类含有二个 2，二个 3 共有 C24＝ 6(个 )，因此满足条件的四位数共有 2 4＋ C24＝ 14(个 )． 答案 14 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法 “ 相互独立，逐步完成 ” ． 【训练 2】 由数字 1,2,3,4， (1)可组成多少个 3 位数； (2)可组成多少个没有重复数字的 3 位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字． 解 (1)百位数共有 4 种排法；十位数共有 4 种排法；个位数共有 4 种排法，根据分步计数原理共可组成 43＝ 64 个 3 位数． (2)百位上共有 4 种排法；十位上共有 3 种排法；个位上共有 2 种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的 3 位数 4 3 2＝ 24(个 )． (3)排出的三位数分别是 43 43 42 321，共 4 个． 考向三 涂色问题 【例 3】 ► 如图，用 5 种不同的颜色给图中 A、 B、 C、 D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法。 [审题视点 ] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜色． 解 法一 如题图分四个步骤来完成涂色这件事： 涂 A有 5 种涂法；涂 B 有 4 种方法；涂 C 有 3 种方法；涂 D 有 3 种方法 (还可以使用涂 A的颜色 )． 根据分步计数原理共有 5 4 3 3＝ 180 种涂色方法． 法二 由于 A、 B、 C 两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有 A35＝ 60 种涂法；又 D 与 B、 C 相邻、因此 D 有 3 种涂法；由分步计数原理知共有 60 3＝ 180 种涂法． 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理． 【训练 3】 如图所示，将一 个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法种数． 解 法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥 S ABCD的顶点 S、 A、 B 所染的颜色互不相同，它们共有 5 4 3＝ 60 种染色方法． 当 S、 A、 B 染好时，不妨设其颜色分别为 3，若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法，若 C 染 5，则 D可染 3 或 4，有 2 种染法．可见，当 S、 A、 B 已染好时， C、 D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有 60 7＝ 420(种 )． 法二 以 S、 A、 B、 C、 D 顺序分步染色 第一步， S 点染色，有 5 种方法； 第二步， A点染色，与 S 在同一条棱上，有 4 种方法； 第三步， B 点染色，与 S、 A分别在同一条棱上，有 3 种方法； 第四步， C 点染色，也有 3 种方法，但考虑到 D 点与 S、 A、 C 相邻，需要针对A 与 C 是否同色进行分类，当 A 与 C 同色时， D 点有 3 种染色方法；当 A 与 C不同色时，因为 C 与 S、 B 也不同色，所以 C 点有 2 种染色方法， D 点也有 2 种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的 染色方法共有5 4 3 (1 3＋ 2 2)＝ 420(种 )． 法三 按所用颜色种数分类 第一类， 5 种颜色全用，共有 A55种不同的方法； 第二类，只用 4 种颜色，则必有某两个顶点同色 (A与 C，或 B 与 D)，共有 2 A45种不同的方法； 第三类，只用 3 种颜色，则 A与 C、 B 与 D 必定同色，共有 A35种不同的方法． 由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为 A 55＋ 2 A 45＋ A 35＝420( 种 ) ． 规范解答 20—— 如何解决涂色问题 【问题研究】 涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点 . 【解决方案】 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类 问题的首选方法 . 【 示例 】 ► (本小题满分 12 分 )用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在 “ 田 ” 字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法。 颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法． 1 2 3 4 [解答示范 ] 如图所示，将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4，第 1 个小方格可以从 5种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法． (2分 ) ① 当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 A24＝ 12 种不同的涂法，第 4 个小方格有 3 种不同的涂法．由分步计数原理可知，有 5 12 3＝ 180 种不同的涂法；(6分 ) ② 当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻西格不同色，因此，第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步计数原理可知．有 5 4 4＝80 种不同的涂法． (10分 ) 由分类加法计数原理可得，共有 180＋ 80＝ 260 种不同的涂法． (12分 ) 在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用两个计数原理分析解决问题． 【试一试】 (2020湖北 )给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当 n≤ 4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： 由此推断，当 n＝ 6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 ___。