概率论与数理统计多维随机变量及其分布(编辑修改稿)

概率论与数理统计多维随机变量及其分布(编辑修改稿)内容摘要：

具有所谓的“独立性” , 我们引入如下定 义 . 定义 设随机变量 ),( YX 的联合分布函数为 ),( yxF , 边缘分布函数为 )(xFX , )(yFY , 若对任意实数 yx, ,有 },{}{},{ yYPxXPyYxXP  即 ),()(),( yFxFyxF YX 则称随机变量 X 和 Y 相互独立 . 关于随机变量的独立性 , 有下列两个定理 . 定理 1 随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的任何事件与 Y 生成的任何事件独立 , 即 , 对任意实数集 BA, , 有 },{}{},{ BYPAXPBYAXP  定理 2 如果随机变 量 X 与 Y 相互独立 , 则对任意函数 ),(1xg )(2yg 均有 )(),( 21 YgXg 相互独立 . 三、离散型随机变量的条件分布与独立性 设 ),( YX 是二维离散型随机变量 , 其概率分布为 ,2,1,},{  jipyYxXP ijji 则由条件概率公式 , 当 0}{  jyYP , 有 ,2,1,}{ },{}|{    ippyYP yYxXPyYxXP jijj jiji 称其为在 jyY 条件下随机变量 X 的 条件概率分布 . 对离散型随机变量 ),( YX , 其独立性的定义等价于 : 若对 ),( YX 的所有可能取值 ),( ji xx 有 }{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP  即 ,2,1,   jippp jiij 则称 X 和 Y 相互独立 . 四、 连续型随机变量的条件密度与独立性 定义 设二维连续型随机变量 ),( YX 的概率密度为 ),( yxf ,边缘概率密度为)(),( yfxf YX , 则对一切使 0)( xfX 的 x , 定义 在 xX 的条件下 Y 的条件概率密度为 )( ),()|(| xf yxfxyf XXY . 类似地 , 对一切使 0)( yfY 的 y , 定义在 yY 的条件下 X 的条件密度函数为 )( ),()|(| yf yxfyxf YYX . 注 : 关于定义表达式内涵的解释 . 以 )( ),()|(| yf yxfyxf YYX  为例 . 在上式左边乘以 dx , 右边乘以 dydxdy /)( 即得 }{ },{)( ),()|(| dyyYyP dyyYydxxXxPdyyf d x d yyxfdxyxf YYX   }.|{ dyyYydxxXxP  换句话说 , 对很小的 dx 和 dy , dxyxf YX )|(| 表示已知 Y 取值于 y 和 dyy 之间的条件下 , X 取值于 x 和 dxx 之间的条件概率 . 对二维连续型随机变量 ),( YX , 其独立性的定义等价于 : 若对任意的 yx, , 有 )()(),( yfxfyxf YX 几乎处处成立 , 则称 YX, 相互独立 . 注 : 这里“几乎处处成立”的含义是 :在平面上除去面积为 0的集合外 ,处处成立 . 例题选讲： 条件分布的概念 例 1 (讲义例 1) 设 X 服从 ]1,0[ 上的均匀分布 , 求在已知 21X 的条件下 X 的条件分布函数 . 随机变量的独立性 例 2 (讲义例 2) 设 X 与 Y 的联合概率分布为 (1) 求 0Y 时 , X 的条件概率分布以及 0X 时 , Y 的条件概率分布。 (2)判断 X 与 Y 是否相互独立 ? 例 3 (讲义例 3) 设随机变量 X与 Y相互独立 , 下表列出了二维随机变量 ),( YX 联合分布律及关于 X和关于 Y的边缘分布律中的部分数值 , 试将其余数值填入表中的空白处 . Y X 1y 2y 3y ii PxXP  }{ 1x 1/8 2x 1/8 jj pyyP  }{ 1/6 1 例 4 (讲义例 4) 一射手进行射击 ,击中目标的概率为 )10(, pp , 射击进行到击中目标两次为止 . 以 X 表示首次击中目标所进行射击次数 , 以 Y 表示总共进行的射击次数 . 试求X 和 Y 的联合分布及条件分布 . 连续型随机变量的条件密度与独立性 例 5 (讲义例 5)设 ),( YX 的概率密度为  其它,0 0,0,),()( yxxeyxf yx。 问 X 和 Y 是否独立 ? 例 6 设 ),( YX 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为   .,0 1,/1),( 22 其它 ，yxyxf  求 ).|(| xyf XY 例 7 (讲义例 7)设 ),。 ,。 ,(~),( 212221 NYX (1) 求 )|(| yxf YX 和 )|(| xyf XY . (2) 证明 X 与 Y 相互独立的充要条件是 0 . 例 8 (讲义例 6)甲乙两人约定中午 12 时 30 分在某地会面 . 如果甲来到的时间在 12:15到 12:45 之间是均匀分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00 到 13:00 之间是均匀分布 . 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过 5分钟的概率 . 又甲先到的概率是多少 ? 例 9 设数 X 在区间 )1,0( 均匀分布，当观察到 )10(  xxX 时，数 Y 在区间 )1,(x 上等可能随机地取值 .求 Y 的概率密度 . 例 10 设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为 Y ，当日销售量为 X 假定一天中不再上柜台上补充货物，于是 YX . 根据历史资料， ),( YX 的概率密度函数为 Y X 1 0 2 0 0 1 2 0 。