概率论与数理统计参数估计(编辑修改稿)

概率论与数理统计参数估计(编辑修改稿)内容摘要：

为未知 , 又设 nXXX , 21  是来自 X 的样本 . 试求 2, 的矩估计量 . 例 4（讲义例 4） 设总体 X 的概率分布为 22 )1()1(2 321  kPX 其中  为未知参数 .现抽得一个样本 ,1,2,1 321  xxx 求  的矩估计值 . 最大似然估计法 例 5 （讲义例 5） 设 ),1(~ pbX ， nXXX , 21  是取自总体 X 的一个样本，试求参数 p的最大似然估计 . 例 6（讲义例 6） 设总体 X 服从 ],0[  上的均匀分布 ,  未知 . nXX ,1  为 X 的样本 , nxx ,1  为样本值 . 试求  的最大似然估计 . 例 7（讲义例 7） 设总体 X 服从指数分布 , 其概率密度函数    0,0 0,),( xxexf x 其中 0 , 是未知参数 . nxxx , 21  是来自总体 X 的样本观察值 , 求参数  的最大似然估计值 . 例 8（讲义例 8） 设 nxxx , 21  是正态总体 ),( 2N 的样本观察值 , 其中 2, 是未知参数 , 试求  和 2 的最大似然估计值 . 课堂练习 1. 设总体 X 具有概率概率密度      xxexf x,0 ,),( )( 其中  ,0 为未知参数 . nXXX , 21  是来自总体 X 的样本 , 求 , 的矩估计 量 . 2. 设总体 X 在 ],[ ba 上服从均匀分布， ba, 未知， nxxx , 21  是一个样本值 . 试求 ba,的最大值似然估计量 . 第三节 置信区间 前面讨论了参数的点估计 , 它是用样本算出的一个值去估计未知参数 . 即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值 , 它没有给出这个近似值的误差范围 . 例如 , 在估计某湖 泊中鱼的数量的问题中 , 若根据一个实际样本 , 利用最大似然估计法估计出鱼的数量为 50000 条 , 这种估计结果使用起来把握不大 . 实际上 , 鱼的数量的真值可能大于 50000 条 , 也可能小于 50000 条 .且可能偏差较大 . 若能给出一个估计区间 , 让我们能 较大把握地 (其程度可用概率来度量之 )相信鱼的数量的真值被含在这个区间内 , 这样的估计显然更有实用价值 . 本节将要引入的另一类估计即为 区间估计 , 在区间估计理论中 , 被广泛接受的一种观点是 置信区间 , 它由奈曼 (Neymann)于 1934 年提出的 . 内容分布图示 ★ 引言 ★ 置信区间的概念 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 寻求置信区间的方法 ★ 例 3 ★ )10(  分布参数的区间估计 ★ 例 4 ★ 单侧置信区间 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 63 ★ 返回 内容要点： 一、 置信区间的概念 定义 1 设  为总体分布的未知参数 , nXXX , 21  是取自总体 X 的一个样本 , 对给定的数 )10(1   , 若存在统计量 ),(),( 2121 nn XXXXXX    使得 ,1}{  P 则称随机区间 ),(  为  的 1 双侧置信区间 , 称 1 为 置信度 , 又分别称  与  为  的 双侧置信下限 与 双侧置信上限 . 注 : 1. 置信度 1 的含义 : 在随机抽样中 , 若重复抽样多次 , 得到样本 nXXX , 21  的多个样本值 ),( 21 nxxx  , 对应每个样本值都确定了一个置信区间 ),(  , 每个这样的区间要么包含了  的真值 , 要么不包含  的真值 . 根据伯努利大数定理 , 当抽样次数充分大时 , 这些区间中包含  的真值的频率接近于置信度 (即概率 ) 1 , 即在这些区间中包含  的真值的区间大约有 )%1(100  个 ,不 包含  的真值的区间大约有 %100 个 . 例如 , 若令  , 重复抽样 100 次 , 则其中大约有 95个区间包含  的真值 , 大约有 5 个区间不包含  的真值 . 2. 置信区间 ),(  也是对未知参数  的一种估计 , 区间的长度意味着误 差 , 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计 . 3. 置信度与估计精度是一对矛盾 .置信度 1 越大 , 置信区间 ),(  包含  的真值的概率就越大 , 但区间 ),(  的长度就越大 , 对未知参数  的估计精度就越差 . 反之 , 对参数 的估计精度越高 , 置信区间 ),(  长度就越小 , ),(  包含  的真值的概率就越低 , 置信度1 越小 . 一般准则 是 : 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度 . 二、寻求置信区间的方法 寻求置信区间的基本思想 : 在点估计的基础上 , 构造合适的函数 , 并针对给定的置信度导出置信区间 . 一般步骤 : (1) 选取未知参数  的某个较优估计量 ˆ。 (2) 围绕 ˆ 构造一个依赖于样本与参数  的函数 )。 ,( 21 nXXXuu  (3) 对给定的置信水平 1 ,确定 1 与 2 ,使 ,1}{ 21   uP 通常可选取满足2}{}{ 21   uPuP的 1 与 2 ，在常用分布情况下 , 这可由分位数表查得。 (4) 对不等式作恒等变形化后为   1}{P , 则 ),(  就是  的置信度为 1 的双侧置信区间。 三、 (0— 1)分布参数的置信区间 考虑 (0— 1)分布情形 , 设其总体 X 的分布率为 ),10(,1}0{,}1{  ppXPpXP 现求 p 的置信度为 1 置信区间 . 已知 (0— 1)分布的均值和方差分别为 ),1()(,)( ppXDpXE  设 nXXX , 21  是总体 X 的一个样本 , 由中心极限定理知 , 当 n 充分大时 , npp pXnXD XEXu /)1(/)( )(  近似服从 )1,0(N 分布 , 对给定的置信度 1 , 则有 ,1/)1( 2/    unpp pXP 经不等式 变形得 ,1}0{ 2  cbpapP 其中 .)(,)(2,)( 222/22/ XncuXnbuna   解式中不等式得 ,1}{ 21  pppP 其中 ).4(21),4(21 2221 acbbapacbbap  于是 ),( 21 pp 可作为 p 的置信度为 1 的置信区间 . 四、单侧置信区间 前面讨论的置信区间 ),(  称为双侧置信区间 , 但在有些实际问题中只要考虑选 取满足  }{ 1uP 或   }{ 2uP 的 1 与 2 ，对不等式。