数学模型稳定性模型(编辑修改稿)

数学模型稳定性模型(编辑修改稿)内容摘要：

甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍 11 ~ 21, 121 的需要，且 1必须足够小，才能在 21条件下使 121 成立 P2稳定条件：11, 21, 121  221111111 1)( NxNxxrtx  甲可以独自生存  22112222 1)( NxNxxrtx 乙不能独立生存 福 州 大 学 32 种群的弱肉强食(食饵 捕食者模型 ) • 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵 捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 • 模型的历史背景 —— 一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降 (食用鱼和鲨鱼同时捕捞 )，但是其中 鲨鱼的比例却增加，为什么。 福 州 大 学 33 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r rxx 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 xayrtx )()( 乙独立生存的死亡率 d dyy 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 ybxdty )()( 方程 (1),(2) 无解析解 食饵 捕食者模型 (Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 )1(a x yrx )2(b x ydy 福 州 大 学 34 Volterra模型的平衡点及其稳定性 a x yrxxayrtx  )()(b x ydyybxdty  )()(平衡点 ),/,/( arbdP稳定性分析 bxdbyaxaxrAdrA P00P点稳定性不能用近似线性方程分析 p =0, q 0 P: 临界状态 q 0 P180。 不稳定  0//0abrbadA P)0,0(P 福 州 大 学 35 t x(t) y(t) 0 … … … … … … 用数学软件 MATLAB求 微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 福 州 大 学 36 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图 (x,y)是封闭曲线 xayrtx )()(  ybxdty )()( 观察，猜测 x(t), y(t)的周期约为 xmax , xmin  6, ymax  , ymin  用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为 25, y(t)的平均值约为 10。 食饵 捕食者模型 (Volterra) 福 州 大 学 37 )()(bxdyayrxdydxdyyayrdxxbxd  消去 dt 1lnln cayyrbxxd ybxdtyxayrtx)()()()(ceyex ayrbxd  ))((用相轨线分析 点稳定性 )/,/( arbdPc 由初始条件确定 取指数 福 州 大 学 38 x0 fm f(x) x 0 g(y) gm y0 y 0 arygyggg m /,)(,0)()0( 00 ,0)()0(  ffcygxf )()(ceyex ayrbxd  ))((在相平面上讨论相轨线的图形 用相轨线分析 点稳定性 )/,/( arbdP相轨线 )(xf )( ygbdxfxf m /,)( 00 mm gfc 时无相轨线 以下设 mm gfc 福 州 大 学 39 y2 y1 x Q3 Q4 q y1 y2 x1 x2 p y y0 x x0 P 0 x1 x2 Q1 Q2 Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) Q3(x,y1), Q4(x,y2) mm gfc  00 , yyxx 相轨线 退化为 P点 mm gfc  0yy 令 mfpxf )(mpgc 设 存在 x1x0x2, 使 f(x1)=f(x2)=p mgyg )(],[ 21 xxx 考察 pxf )(存在 y1y0y2,使 g(y1)=g(y2)=q mpgygxf )()( mgqyg )(内任意点是 ],[ 21 xxx 相轨线是封闭曲线族 x Q3 Q4 f(x) x x0 fm 0 g(y) gm y0 y 0 cygxf )()(相轨线 P~中心 福 州 大 学 40 相轨线 是封闭曲线 x(t), y(t)是周期函数 (周期记 T) 求 x(t), y(t) 在一周期的平均值 yx, ybxdty )()( )(1)( dyybtx  TdttxTx0)(1xayrtx )()( arybdxyxP /,/:),( 0000 轨线中心 00 , yyxx bdx /ary /用相轨线分析 点稳定性 )/,/( arbdP TdtdyybT 0)(11))0(ln)(ln(1 bdTb yTyT 福 州 大 学 41 0 20 40 60 80 100 120051015202530 00  yx  ，00  yx  ，00yx00yx0P• T2 T3 T4 T1 P 0 2 4 6 8 10 12020406080100120x(t)y(t)T1 T2 T3 T4 x(t) 的“相位”领先 y(t) xayrtx )()( ybxdty )()(  )()(:1 tytxT )()(:2 tytxT )()(:3 tytxT )()(:4 tytxT模型解释 )/,/( arbdP),( 000 yxP 初值 相轨线的方向 福 州 大 学 42 模型解释 r ~食饵增长率 d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力 ary 捕食者 数量 bdx 食饵数量 0 20 40 60 80 100 120051015202530 P )/,/( arbdPr/a d/b a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与 r成正比 , 与 a成反比 食饵 数量与 d成正比 , 与 b成反比 福 州 大 学 43 模型解释 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中 鲨鱼的比例却在增加，为什么。 rr1, dd+1 捕捞 战时捕捞 rr2, dd+2 , 2 1 yyxx  11 ,• ),( 111 yxP• ),( 222 yxP• ),( yxPx y 食饵 (鱼 )减少， 捕食者 (鲨鱼 )增加 自然环境 arybdx /,/ ),( yxP1212 , yyxx 1PP 21 PP  还表明：对 害虫 (食饵 )— 益虫 (捕食者 )系统，使用灭两种 虫的 杀虫剂 , 会使害虫增加，益虫减少。 1PP 福 州 大 学 44 食饵 捕食者模型 (Volterra)的缺点与改进  221111 1)( Nxxrtx  112222 1)( Nxxrtx  22111111 1)( NxNxxrtx  22112222 1)( NxNxxrtx xayrtx )()(  ybxdty )()( Volterra模型 改写 多数 食饵 — 捕食者系统观察不到周期震荡 ,而是趋向某个平衡状态 ,即存在稳定平衡点 加 Logistic项 有 稳定平衡点 福 州 大 学 45 • 相轨线是封闭曲线，结构不稳定 —— 一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。 • 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。 食饵 捕食者模型 (Volterra)的缺点与改进 12111111 11)( wxxNxxrtx 112222 11)( wxxxrtx r1=1, N1=20, 1=, w=, r2=, 2= 相轨线趋向极限环 0 5 10 15 200102030结构稳定 福 州 大 学 46 两种群模型的几种形式 相互竞争  22111111 1)( NxNxxrtx  22112222 1)( NxNxxrtx 相互依存 。