数学分析函数极限概念(编辑修改稿)

数学分析函数极限概念(编辑修改稿)内容摘要：

x    这就证明了所需的结论 . 0202 | | ,1xxx返回 后页 前页 在上面例 题中 , 需要注意以下几点： , 我们强调其存在性 . 换句话说 , 对于 固定 1. 对于 的 , 不同的方法会得出不同的  , 不存在哪一个更 好的问题 . 数 都可以充当这个角色 . 3. 正数  是任意的 ,一旦给出 ,它就是确定的常数 . , 那么比它 更小的正 是不惟一的 , 一旦求出了 .2返回 后页 前页 有时为了方便 ,需要让  小于某个正数 . 一旦对这 为贵” . 当然也能满足要求 . 所以我们有时戏称  “ 以小 样的  能找到相应的  , 那么比它大的  , 这个  返回 后页 前页 平面上以 y =A为中心线 , 宽为 的窄带 , 2 可 以找到 ,0 使得曲线段 ),(),( 0 xUxxfy 4. 函数极限的几何意义如图 , 0, 任 给 对于 坐标 落在窄带内 .  Ay Ay AyO xy0x 0x 0x返回 后页 前页 三、单侧极限 ，时在考虑 )(lim0xfxx x 既可以从 x0 )( 0xx 的左侧 但在某些时 .)( 000 xxxx 趋向于的右侧又可以从 定义 5 ,)),((),()( 00 有定义在设  xUxUxf   A 为常 数 . 若对于任意正数  , ,）（存在正数  在定义区间的端点和分段函数的分界点等 . 候 ,我们仅需 (仅能 )在 x0的某一侧来考虑 , 比如函数 返回 后页 前页 | | ,f x A （）则称 A 为函数 f 当 00()x x x x时的右 (左 ) .))(lim()(lim00AxfAxf xxxx   右极限与左极限统称为单侧极限 , 为了方便起见， ).(lim)0(,)(lim)0(00 00xfxfxfxf xxxx   时，有当 )0(0 00   xxxx极限 ,记作 有时记 返回 后页 前页 例 7 讨论函数 .11 2 处的单侧极限在  xx解 因为 ,1|| x ),1(2)1()1(1 2 xxxx .|01| 2  x.01lim 21  xx这就证明了.01l i m 21  xx同理可证所以 有时当 ,11  x ,2,02  取返回 后页 前页 由定义 ，我们不难得到： 注 试比较定理 与定理 180。 . .)(l i m)(l i m00Axfxf xxxx   ）有定义，则（在设 0)( xUxf 定理 180。 :)(l i m0的充要条件是Axfxx ,1s g nl i m,1s g nl i m 00    xx xx由于 xx s g nlim 0所以不存在 . 返回 后页 前页 作为本节的结束 ,我们来介绍两个特殊的函数极限 . 例 9 证明狄利克雷函数 无理数，有理数xxxD0,1)(证 00 1R , , .2xA 对于任意的 以及任意实数 取处处无极限 . ,||0 0*  xx,QR,21||,0 *  xA 取若对于任意的 满足 返回 后页 前页 .21|||)(| 0*  AAxD**01| | , Q , 0 | | ,2A x x x    若 取 满 足 则.21|1||)(| 0*  AAxD这就证明了结论 . 则 返回 后页 前页 例 10 设黎曼 函数 .1,0,0,1),(,1)(无理数以及xqpqpxqxR00: ( 0, 1 ) , li m ( ) R x  求证证 .10   NN ，使，取一正整数。